2023高二数学同步讲义(A版选必一)拓展一 圆锥曲线的离心率问题 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版).docx优质本文件免费下载 【共17页】

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免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com拓展一:圆锥曲线的离心率问题离心率是刻画椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小的一个量。求离心率的大小和范围问题是高考的热点和难点。离心率问题既可以考查圆锥曲线的定义和性质,又可以综合考查平面几何、三角函数、平面向量等内容,还可以考查考生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力,更可以考查数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想方法。因此,备受命题者青睐。一、求离心率的方法.求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可),方法通常有两个方向:1、利用几何性质:如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系,进而两条焦半径与有关,另一条边为焦距,从而可求解;免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(1)特殊三角形与离心率这类题目通常利用特殊三角形的性质来找参数关系,用到的性质一般有边角相等、三角形相似、面积公式、正余弦定理、角平分线性质、高的性质、中线的性质等,解题方法可用代数法也可用几何法,通常数形结合,用几何法计算量较小,运算相对简单.(2)平行四边形与离心率与平行四边形结合的离心率问题一般有两类,一类是题目中存在四边形;另一类是利用圆锥曲线的对称性构造四边形.用到的性质通常有:对边平行相等;两条对角线长度的平方和等于两倍的两个邻边的平方和等.解题时可用代数法也可用几何法.(3)圆与离心率借助于圆的性质求离心率问题的题目相对较多,考查点通常是圆的性质和圆锥曲线性质的结合,比如弦的中点与圆心的连线与弦垂直,直径所对的圆周角是90°,半径相等,圆与圆的位置关系等.2、利用坐标运算:如果从题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用进行表示,再利用条件列出等式求解.(要习惯将看作常数)3、通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.重要类型:(1)利用焦点三角形求离心率利用定义,求出。椭圆:,设椭圆焦点三角形两底角分别为、,则(正弦定理)。免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com双曲线:,设双曲线焦点三角形两底角分别为来表示:(2)由渐近线求离心率因为双曲线夹在两渐近线之间,所以两渐近线夹角的大小确定了双曲线的开口大小.双曲线中,渐近线的倾斜角与离心率有如下关系①②过焦点作渐近线的垂线,垂足为点M,因≌,所以焦点到渐近线的距离垂足点M的坐标.(3)中点弦的离心率问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com(4)与焦点弦有关的离心率问题当椭圆或双曲线的焦点在轴上时,过焦点F作倾斜角为的弦AB(若为双曲线,则弦AB在同一支上),设是较长的焦半弦,为较短的焦半弦,则当抛物线的焦点在轴上时,过焦点F作倾斜角为的弦AB,设是较长的焦半弦,为较短的焦半弦,则结论中的a,b,c,p都是相关曲线的参数。这两个结论又称为长短弦公式。免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com焦比定理:若圆锥曲线的焦点在轴上,设AB是过圆锥曲线的焦点F的弦(对双曲线,限定AB在同一支上),圆锥曲线的离心率为e,AB的倾斜角为,斜率为(限定存在),两焦半径的比值为(可以是,也可以是),则必有或推论1:若圆锥曲线的焦点在轴上,设AB是过圆锥曲线的焦点F的弦(对双曲线,限定AB在同一支上),圆锥曲线的离心率为e,AB的倾斜角为,斜率为(限定存在),两焦半径的比值为(可以是,也可以是),则必有或推论2:若双曲线的焦点在轴上,设AB是过焦点F的弦,且弦AB与双曲线的两支都相交,双曲线的离心率为e,AB的倾斜角为,斜率为(限定存在),两焦半径的比值免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com为(可以是,也可以是),则必有或推论3:若抛物线的焦点在轴上,设AB是过焦点F的弦,AB的倾斜角为,斜率为(限定存在),两焦半径的比值为(可以是,也可以是),则必有或二、离心率的范...

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