小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册）复习01讲平面向量基本定理与平面向量的数量积的应用（精讲+精练）①平面向量基本定理②向量共线定理③平面向量的数量积、垂直④平面向量的模长⑤平面向量的夹角⑥投影向量一、平面向量基本定理和性质（1）共线向量定理如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得存在，使得．（3）中线向量定理如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量向量点．（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．三、平面向量的直角坐标运算①已知点，，则，②已知，，则，，四、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），BCAD小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，OA表示向量a，OB表示向量b，过点A作OB所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量OA1的变换称为向量a向向量b投影，向量OA1称为向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ).五、数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．六、数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．七、数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)【常用结论】(1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线①平面向量基本定理策略方法平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先一基底，用基底件和表示向量的形式，再通向量的算解选择组并运该将条结论为过运来．决(2)在基底未出的情下，合理地取基底解方便．给况选会给题带来(3)若直接利用基底表示向量比困较难,可出目向量建立其基底之足的二元系设标并与间满关式,然后利用已知件及相条关结论,不同方向和角度表示出目向量从标(一般需建立不同的两个向量表式达),再根据待定系法确定系数数,建立方程或方程组,解方程或方程即得组.【题型精练】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）设D为ABC所在平面内一点，则（）A．B．C．D．【答案】A小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】由向量等式判断点在线段的延长线上，结合图形，将用和线性表示即得.【详解】如图，由可知，点在线段的延长线上,由图可得，=.故选:A．2．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】由向量的线性运算，用表示【详解】因为，则有，所以.故选：B．3．（23-24高一下·山东枣庄·期中）在梯形中，若，且，则（）小学、初中...