小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题拓展：圆锥曲线的中点弦问题一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l(不平行于y轴)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点A、B，其中AB中点为P(x0，y0)，则有kAB⋅kOP=−b2a2。证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有{x12a2+y12b2=1¿¿¿¿，上式减下式得x12−x22a2+y12−y22b2=0，∴y12−y22x12−x22=−b2a2，∴y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y1−y2x1−x2⋅2y02x0=y1−y2x1−x2⋅y0x0=−b2a2，∴kAB⋅kOP=−b2a2。焦点在y轴：直线l(存在斜率)过椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)上两点A、B，线段AB中点为P(x0，y0)，则有kAB⋅kOP=−a2b2。3、双曲线的用点差法同理，可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点坐标为P(x0，y0)代入抛物线方程，，，将两式相减，可得，整理可得：三、点差法在圆锥曲线中的结论1、椭圆：2、双曲线：3、抛物线：考点一：中点弦所在直线斜率(方程)例1．（22-23高二上·江西南昌·月考）已知直线交椭圆于两点，若点为两点的中点，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】椭圆，依题意可知直线的斜率存在，设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的斜率为.故选：D【变式1-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，则直线l的斜率为代入，得，两式相减得：.又线段AB的中点为点，则.则.经检验满足题意.故选：D【变式1-2】（22-23高二下·湖北孝感·期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（）A．B．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC．D．【答案】A【解析】设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A【变式1-3】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，代入抛物线，可得，两式相减得，所以直线的斜率为，又因为的中点为，可得，所以，即直线的斜率为.故选：C.考点二：弦中点的坐标求解例2.（23-24高二上·贵州六盘水·月考）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】设，因为为的中点，可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又由，两式相减得，则，得．故选：B.【变式2-1】（22-23高二上·四川成都·期末）若直线与椭圆交于两点，且，则点的坐标可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以为中点，设，因为在椭圆上，所以，两式相减得，即，即，因为直线过点，所以，所以，经检验C、D不满足，A、B选项均满足，但在椭圆外，不符合条件，故选：A.【变式2-2】（23-24高二上·湖北·期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA．B．C．D．【答案】B【解析】因为抛物线上两点，关于直线对称，故和直线垂直，所以，故，又，所以，故中点坐标是，即故选：B【变式2-3】（23-24高二上·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为.【答案】【解析】由题意可知：直线：的斜率为，可知直线的斜率，设，则线段中点的坐标，可得，，因为A，B为双曲线C：上的两点，则，两式相减整理得，即，解得，即直线，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com...