小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题拓展:圆锥曲线的中点弦问题一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;2、点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线l(不平行于y轴)过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点A、B,其中AB中点为P(x0,y0),则有kAB⋅kOP=−b2a2。证明:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有{x12a2+y12b2=1¿¿¿¿,上式减下式得x12−x22a2+y12−y22b2=0,∴y12−y22x12−x22=−b2a2,∴y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y1−y2x1−x2⋅2y02x0=y1−y2x1−x2⋅y0x0=−b2a2,∴kAB⋅kOP=−b2a2。焦点在y轴:直线l(存在斜率)过椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)上两点A、B,线段AB中点为P(x0,y0),则有kAB⋅kOP=−a2b2。3、双曲线的用点差法同理,可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2),中点坐标为P(x0,y0)代入抛物线方程,,,将两式相减,可得,整理可得:三、点差法在圆锥曲线中的结论1、椭圆:2、双曲线:3、抛物线:考点一:中点弦所在直线斜率(方程)例1.(22-23高二上·江西南昌·月考)已知直线交椭圆于两点,若点为两点的中点,则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】D小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】椭圆,依题意可知直线的斜率存在,设,则,两式相减并化简得,即,所以直线的斜率为.故选:D【变式1-1】(23-24高二上·天津和平·期末)直线l与双曲线交于A,B两点,线段AB的中点为点,则直线l的斜率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设,,则直线l的斜率为代入,得,两式相减得:.又线段AB的中点为点,则.则.经检验满足题意.故选:D【变式1-2】(22-23高二下·湖北孝感·期中)过点的直线与双曲线相交于两点,若是线段的中点,则直线的方程是()A.B.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comC.D.【答案】A【解析】设,则,两式相减得直线的斜率为,又直线过点,所以直线的方程为,经检验此时与双曲线有两个交点.故选:A【变式1-3】(23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试)已知直线交抛物线于两点,且的中点为,则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】设,代入抛物线,可得,两式相减得,所以直线的斜率为,又因为的中点为,可得,所以,即直线的斜率为.故选:C.考点二:弦中点的坐标求解例2.(23-24高二上·贵州六盘水·月考)已知椭圆,过点,斜率为的直线与交于两点,且为的中点,则()A.1B.C.D.【答案】B【解析】设,因为为的中点,可得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又由,两式相减得,则,得.故选:B.【变式2-1】(22-23高二上·四川成都·期末)若直线与椭圆交于两点,且,则点的坐标可能是()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,所以为中点,设,因为在椭圆上,所以,两式相减得,即,即,因为直线过点,所以,所以,经检验C、D不满足,A、B选项均满足,但在椭圆外,不符合条件,故选:A.【变式2-2】(23-24高二上·湖北·期中)若抛物线上两点,关于直线对称,且,则中点坐标为()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA.B.C.D.【答案】B【解析】因为抛物线上两点,关于直线对称,故和直线垂直,所以,故,又,所以,故中点坐标是,即故选:B【变式2-3】(23-24高二上·江西赣州·期中)已知A,B为双曲线C:上的两点,且A,B关于直线:对称,则线段中点的坐标为.【答案】【解析】由题意可知:直线:的斜率为,可知直线的斜率,设,则线段中点的坐标,可得,,因为A,B为双曲线C:上的两点,则,两式相减整理得,即,解得,即直线,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com...