免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com拓展三：数列与不等式知识点1求解数列不等式恒成立问题的常用方法先利用等差数列与等比数列等知识化简不等式，再通过解不等式解得，或转化利用最值法解得.知识点2数列不等式证明问题证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：（1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立.二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧：①添加或舍去一些项，如：免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com将分子或分母放大或缩小，如：②利用基本不等式等，如：③三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是要证明，只需证明“……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.知识点3数列中的最值问题求解数列中的最值问题，常结合不等式来求解.求解方法有：建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；或先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；或利用条件中的不等关系确定最值.知识点4数列不等式的探索性问题数列不等式中的探索性问题主要表现为存在型，求解的方法是：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到否定的结论，即不“”存在；若推理得不出矛盾，能求得在范围内的数值，则得到肯定的结论，即得到存在的结果.考点一数列不等式恒成立问题1．（2022春·上海·高二期中）数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【分析】由利用二次函数的性质计算可得答案.【详解】，不等式 恒成立，∴，解得，故选：B．2．（2022春·吉林辽源·高二辽源市第五中学校校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（）A．B．1C．D．【答案】C【分析】求出数列得通项公式和前n项和，将不等式恒成立转化成函数最值问题，即可求得最值.【详解】因为当时，解得：当时，，两式相减得：数列是首相为，公比为2得等比数列所以，所以易得免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com，即，即所以，即易知时，，，，，满足，所以所以，故选：C3．（2022春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知数列满足，，若不等式对任意的都成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】将两边取倒数，可得是首项为2，公差为1的等差数列，求得，进而将不等式对任意的都成立转化为恒成立，利用基本不等式求得的最值，可得答案.【详解】由数列满足，，可得，可知，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com因为，所以，所以，因为，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以且，因为不等式恒成立，所以恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围是，故选：A.4．（2022春·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知正项数列的前项和为，且满足，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】将化简后得到，由于为正项数列所以可以得到是等比数列，进而求出通项以及前项和．代入后通过化简作差求得实数的最小值．【详解】解：根据题意得，所以为正项数列，，即.，数列是以2为公比，1为首项的等比数列．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com①，②，将①②代入得即对于任意的恒成立．令，则，所以当时...