小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第02讲空间向量的数量积运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解空间向量的夹角；2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法；3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义；4．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离.知识点1空间向量的夹角1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。2、夹角的范围：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com通常我们规定：，且（1）当、共线且同向时，；（2）当、共线且反向时，；（3）当当、垂直时，即时，．3、求两个向量的夹角有两种方法：方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．知识点2空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0．2、数量积的几何意义（1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积．（2）向量在向量上的投影向量如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（3）向量在平面上的投影如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．3、向量数量积的运算规律：（1）；（2）（交换律）（3）（分配律）4、空间向量数量积的性质设，是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤5、求空间向量数量积的步骤：第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积，第三步：代入求解．知识点3空间向量的模长在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：．将其推广：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点一：空间向量数量积的计算例1．（23-24高二上·四川成都·月考）已知空间向量的夹角为，则．【答案】13【解析】空间向量的夹角为，则.【变式1-1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正方体的棱长为1，设，，，则（）A．1B．C．0D．2【答案】A【解析】由题意可知：，所以.故选：A.【变式1-2】（23-24高二上·江西吉安·期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（）A．B．C．D．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【答案】A【解析】如图所示，由正四面体的性质可得，，由E是棱中点，，故选：A．【变式1-3】（23-24高二上·四川成都·期末）如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【解析】因为点为棱的中点，所以，因为四面体的棱长都是2，所以，故选：B考点二：利用数量积求向量的夹角小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2.（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】C【解析】由题设，则，所以，又，可得，即.故选：C【变式2-1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（）A．B．C．D．0【答案】D【解析】如图所示， ，又，，则∴，∴，.故选：D【变式2-2】（23-24高二下·江苏连云港...