小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）预习04讲用空间向量研究夹角、距离问题（精讲+精练）①利用空间向量求异面直线所成角②利用空间向量求线面角③利用空间向量求面面角④利用空间向量求点到线、点到面距离一、用向量法求空间距离1.点到直线的距离已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：2.点到平面的距离如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com二、用向量法求空间角1.用向量运算求两条直线所成角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则①②.2.用向量运算求直线与平面所成角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com3.用向量运算求平面与平面的夹角如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若分别为面，的法向量①②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则；若二面角为顿二面角（取负），则；①利用空间向量求异面直线所成角策略方法用向量法求异面直线所成角的一般步骤【题型精练】一、单选题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com1．（23-24高二下·广西南宁·阶段练习）已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】应用求空间向量夹角余弦值的公式计算余弦值，然后利用同角三角函数关系求解正弦值即可.【详解】设两条异面直线所成的角为，且这两条异面直线的方向向量分别是，，则，且，所以，即异面直线与所成角的正弦值为.故选：D2．（23-24高二上·广东深圳·期末）正方体中，M是中点，则异面直线CM与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求线线角即可求解.【详解】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，得，所以，即直线与所成角的余弦值为.故选：D3．（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.【详解】四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，则，，设直线与所成角为，则，直线与所成角的余弦值为．故选：B小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取的中点，连接，，根据面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线夹角的余弦值即可.【详解】取的中点，连接，，因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因为，所以，于是以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，，为等边三角形，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，，，，所以，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D5．（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，，分别为母线、的中点，则异面直线和所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求出结果.【详解】取中点，连接，如图，以所在直线为...