小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题拓展：圆锥曲线焦点三角形问题一、焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为焦点三角形。“”一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设为θ）2、常用性质性质1：，（两个定义）拓展：的周长为的周长为性质2：（余弦定理）性质3：当为短轴的端点时，最大推导：由性质2得，.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com ，当且仅当时，即点是短轴端点时取等号，∴.又 在上单调递减，∴当为短轴的端点时，最大。性质4：当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为推导：由性质3的推导过程得,∴，∴二、双曲线的焦点三角形1、如图，、是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记，则的面积.2、焦半径公式：如图，对于双曲线，|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0−a，对双曲线，其焦半径的范围为[c−m,+∞).3、双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为x=a(−b<y<b,y≠0).证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4、如图，过焦点F2的弦AB的长为t，则ΔABF1的周长为4m+2t.考点一：焦点三角形的周长例1．（23-24高二上·天津·月考）已知椭圆：，过左焦点的直线交于A，两点，则的周长为（）A．12B．16C．20D．32【答案】B【解析】由，得，得，所以的周长为.故选：B【变式1-1】（23-24高二上·江西·月考）已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（）A．24B．20C．16D．12【答案】A【解析】由椭圆方程可知，则，所以是椭圆的焦点，所以的周长为.故选:.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-2】（23-24高二下·江苏盐城·月考）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（）A．20B．22C．28D．36【答案】C【解析】由题意知，，所以，又，所以，所以的周长为．故选：C．【变式1-3】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由双曲线定义可知：，则三角形的周长为，故.故选：D.考点二：焦点三角形的面积例2.（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，则面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆故.根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有：，……①……②由题知……③在中使用余弦定理有：……④将代入式得到：①②③④……⑤现在我们可以计算三角形的面积：因此，的面积是.故选：B.【变式2-1】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆的焦距为，则，由，的面积为，得，即，又，所以，即，，又，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则椭圆的标准方程为．故选：D．【变式2-2】（23-24高二上·四川成都·月考）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A．12B．24C．D．【答案】B【解析】由双曲线得，又，且，得到，所以，即为直角三角形，所以.故选：B.【变式2-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A．4B．8C．12D．16【答案】A【解析】不妨设为左焦点，为右焦点，为两曲线在第一象限的交点，则由已知得，则，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，所以.故选：A.考点三：焦点三角形的内角例3.（23-24高二上·山西吕梁·期中）已知，...