集合与常用该逻辑第一章章末整合知识结构·理脉络要点梳理·晰精华素养突破·提技能真题精练·悟考情1．集合中元素的三个特性特征含义示例确定性作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4∉A互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2无序性构成集合的元素间无先后顺序之分集合{1,0}和{0,1}是同一个集合2．集合描述法的两种形式(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1<x<4}．在不会产生误解的情况下，x的取值集合可以省略不写，如在实数集R中取值，“∈R”常省略不写，于是上述集合可表示为{x|1<x<4}．(2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在花括号内，如{参加平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样．3．全称量词命题和存在量词命题的否定对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；第二步，将结论加以否定．含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．如：①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”．②“存在一个实数x，使得|x|≤0”的否定为“对所有的实数x，都有|x|>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所有的”．4．条件关系判定的常用结论条件p与结论q的关系结论p⇒q，且qpp是q的充分不必要条件q⇒p，且pqp是q的必要不充分条件p⇒q，且q⇒p，即p⇔qp是q的充要条件pq，且qpp是q的既不充分也不必要条件1．集合与方程的联系已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，C＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a，m的值或取值范围．典例剖析集合与方程、不等式的联系专题一典例1思路探究：在C⊆A中含有C＝∅情，所以在解要考集这种况题时虑合C空集的情，避免漏解．为况解析：由意可知题A＝{1,3}． A∪B＝A，∴B⊆A，∴a－1＝3或a－1＝1，∴a＝4或a＝2.又A∩C＝C，∴C⊆A，若C＝∅，则Δ＝m2－4<0，即－2<m<2；若1∈C，则12－m＋1＝0，即m＝2，此时C＝{1}，A∩C＝C，符合意；题若3∈C，则9－3m＋1＝0，即m＝103，此方程时为x2－103x＋1＝0，∴x＝3或x＝13，即C＝{3，13}⊆/A，∴m≠103.上可知，综a＝4或a＝2，－2<m≤2.2．集合与不等式的联系已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}．(1)求图中阴影部分表示的集合C；(2)若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D(⊆A∪B)，求实数a的取值范围．典例2解析：(1)因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m＋1，m∈A}，所以B＝{x|2≤x≤4}，由可得，图C＝A∩(∁UB)，因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x>4或x<2}，而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}．(2)因集合为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，所以A∪B＝{x|1≤x≤4}．若非空集合D＝{x|4－a<x<a}，且D⊆(A∪B)，有则4－a<a，4－a≥1，a≤4，解得2<a≤3，即实数a的取值范围为2<a≤3.归纳提升：解决集合与方程、不等式综合的参数问题时，要特别注意两点：(1)不要忽略集合中元素的互性，即求出后足集合中的元异参数应满素是互的，尤其要注意含的方程的解的集合．异参数(2)空集是一特殊的集合，不含任何元素，是任何集合的子集，个它是任何非空集合的子集，中含有空集的集合系算真当题设隐参与关与运，其特殊性容易被忽略，如解有时决关A⊆B，A∩B＝∅，A∪B＝B等集合，先考空集的情．问题时应虑况1．类比集合定义型在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k...