一元二次函数、方程和不等式第二章章末梳理知识结构·理脉络要点梳理·晰精华素养突破·提技能高考链接·悟考情知识结构·理脉络要点梳理·晰精华1．作差法比较大小作差法的依据是a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.步骤：作差→变形→判断差的符号→得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．2．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4,6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a>b且ab>0，则1a<1b”，“a>b，c<d，则a－c>b－d”，“a>b>0，c>d>0则ad>bc”．在使用这些性质时，如果不满足条件，要注意符号的变换．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．3．基本不等式的常用变式(1)ba＋ab≥2(a，b同号)；ba＋ab≤－2(a，b异号)．(2)a＋1a≥2(a>0)；a＋1a≤－2(a<0)．(3)1a＋1b≥4a＋b(a>0，b>0)．(4)a2b≥2a－b(a>0，b>0)．(5)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．(6)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．4．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．具体理解如下(1)“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．(2)“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是定值，如要求a＋b的最小值，ab必须是定值；求ab的最大值，a＋b必须是定值．(3)“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或最小值．5．二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下(1)从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．(2)从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合．因此，利用二次函数的图象和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式．素养突破·提技能数学运算考查方向比较大小已知m∈R，比较m6＋2019与m4＋m2＋2018的大小．[分析]利用作差法比较大小即可．[解析](m6＋2019)－(m4＋m2＋2018)＝m6－m4－m2＋1＝(m2－1)2(m2＋1)．当m＝±1，时m6＋2019＝m4＋m2＋2018；当m≠±1，时m6＋2019>m4＋m2＋2018.核心素养一例1[归纳提升]比大小的常用方法较(1)作差法：一般步是：骤①作差；②形；变③定；号④．结论其中是形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差关键变式成式或者完全平方式．式子都正，有也变积当两个为数时时可以先平方再作差．(2)作商法：一般步是：骤①作商；②形；变③判商断与1的大小；④．结论(3)特法：若是、空可以用特法比大小；若是值选择题填题值较解答，可先用特探究思路，再用作差或作商法判．注意：题值断用作商法要注意商式中分母的正，否易得出相反的时负则极结．论直观想象考查方向解不等式解关于x的不等式：ax2＋(1－a)x－1>0(a<0)．核心素养二例2[分析]把二次项的系数变为正，将－1a和1比较进行分类讨论可求出不等式的解集．[解析]ax2＋(1－a)x－1>0可得(ax＋1)(x－1)>0，即(x＋1a)(x－1)<0，－当1a<1，即时a<－1，不等式的解集时为x－1a<x<1；－当1a>1，即－时1<a<0，不等式的解集为x1<x<－1a；－当1a＝1，即时a＝－1，不等式的解集空集．时为故当a<－1，不等式的解集时为x－1a<x<1，－当1<a<0，不等式的解集时为x1<x<－1a，当a＝－1，不等式的解集空集．时为[归纳提升]不等式的解法(1)一元二次不等式的解法．①不等式化将为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；②求出相的一元二...