免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com4.3.2等比数列的前n项和公式课程标准课标解读1．掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项.2．会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值.3．能处理与等比数列相关的综合问题通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题.免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com知识点1等比数列的前n项和公式已知量首项a1，项数n与公比q首项a1，末项an与公比q公式Sn＝Sn＝注：（1）等比数列前n项和公式的推导若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q，根据等比数列的性质，有＝＝q，＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．（2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(nSnqa,,,1和nnSqaa,,,1各已知三个可求第四个（3）注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（4）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1.（5）等比数列前n项和公式的函数特征当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.（Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.【即学即练1】（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知等比数列的前项和为，且，，则（）A．64B．42C．32D．22【解析】设数列的公比为，依题意可得，解得，所以.故选：D【即学即练2】（2022·云南曲靖·高二期末）已知等比数列的前n项和为，公比．若，则__________．【解析】由题意知，，解得或，又，则.故答案为：.【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）已知数列的前项和．(1)若，当常数满足什么条件时，数列是等比数列？(2)若，当常数、满足什么条件时，数列是等比数列？【解析】(1)对于等比数列，，当时，，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com故结合可知，，，故;(2)由（1）可知，当，时,令,数列是等比数列,即常数A、满足时，数列是等比数列.当时，是常数，不适合题意，当时，是常数，数列不可能是等比数列，不适合题意，故当，时，，当常数A、满足时，数列是等比数列.知识点2等比数列前n项和的性质1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0.注：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.S2...