免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.1.1椭圆及其标准方程课程标准核心素养1.了解椭圆的实际背景．2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程.数学抽象直观想象知识点1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com①若，M的轨迹为线段F1F2；②若，M的轨迹无图形【即学即练1】(多选)下列说法中正确的是()A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆【解析】A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.【即学即练2】（2022·全国·高二课时练习）设P是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则等于()A．10B．8C．5D．4【解析】根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选：A【即学即练3】若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为()A．6B．7C．8D．9【解析】根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，因为|PF1|＝3，所以|PF2|＝7.故选B知识点2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2注：（1）椭圆标准方程的推导免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，此时，椭圆的焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)．根据椭圆的定义，设M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝，|MF2|＝，所以＋＝2a.①为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a，③对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④将方程④两边同除以a2(a2－c2)，得＋＝1，⑤由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，所以a2－c2>0.令b＝，那么方程⑤就是＋＝1(a>b>0)．⑥我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？答：＋＝1(a>b>0)．（2）椭圆的标准方程的特征①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．②代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．③给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．）【即学即练4】椭圆＋＝1的焦点坐标是()A．(±5,0)B．(0，±5)C．(0，±12)D．(±12,0)【解析】 c2＝a2－b2＝169－25＝122，∴c＝12.又椭圆的焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)．【即学即练5】若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A．1...