免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com1.1.2空间向量的数量积运算课程标准课标解读1．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.知识点1空间向量的夹角定义如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b拓展提升：（1）当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.（2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com对空间任意两个非零向量a，b有：〈①a，b〉＝〈b，a〉；〈－②a，b〉＝〈a，－b〉；〈－③a，－b〉＝〈a，b〉．【即学即练1】在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°【解析】〈BC，CD〉＝180°－〈CB，CD〉＝180°－60°＝120°.故选D知识点2空间向量的数量积运算1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λR∈交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直线与平面所成的角(1)如图，在空间，向量①a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图，向量③a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量A′B′，向量A′B′称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，A′B′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．当①θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.当②θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【即学即练2】在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（）A．B．C．D．【解析】．故选B．【即学即练3】如图，正方体的棱长为1，设，，，求：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）在正方体中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，【即学即练4】如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（）免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.comA．1B．C．D．【解析】由题意得，故.故选：D.知识点3空间向量数量积的性质(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝＝；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．【即学即练5】已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为()A．6B.C．3D.【解析】设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由AC1＝a＋b＋c，得|AC1|2＝AC12＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|AC1|＝.故选B【即学即练6】已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（）A．60°B．120°C．30°D．90°免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【解析】由题意得=(+)·(2)==，||=，||=.=.°.故选:B.【即学即练7】在空间四边...