免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com3.2.1双曲线及其标准方程课程标准核心素养1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.数学抽象直观想象知识点1双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:.常数要小于两个定点的距离．2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|时，M的轨迹不存在．(2)当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|时，M的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线．(3)当||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|时，M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com与的大小.若①,则,点的轨迹是靠近定点的那一支;若②,则,点的轨迹是靠近定点的那一支.【即学即练1】已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为()A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线【即学即练2】已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左支C．一条射线D．双曲线右支【即学即练3】方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是()A．－2＜m＜2B．m＞0C．m≥0D．|m|≥2知识点2双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b2a与b没有大小关系注：1、双曲线的标准方程推导过程①观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com此时双曲线的焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，|PF2|＝，所以－＝±2a，①类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，两边同除以a2(c2－a2)，得－＝1.由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)．②设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？【答案】－＝1(a>0，b>0)．2、巧记双曲线焦点位置与方程的关系两种双曲线，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．3、共焦点双曲线的设法与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为－＝1(－a2<λ<b2)．【即学即练4】以椭圆＋＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为________．【即学即练5】求过点P，Q且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程．【即学即练6】求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程．免费小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳等下载https://www.doc985.com【即学即练7】椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是()A.B．1或－2C．1或D．1知识点3双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)双曲线的定义：(2)余弦定...