小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题4.3等比数列知识储备知识点一等比数列的概念思考1观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，…【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.思考2类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).(2)递推公式形式的定义＝q(n>1).(或＝q，n∈N*)(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.知识点二等比中项的概念思考1在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？【答案】设这个数为G.则，G2＝16，G＝±4.这样的数有2个.思考2对比等差中项与等比中项的异同，完成表格知识点三等比数列的通项公式对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－A公式A＝G＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思考类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式.【答案】根据等比数列的定义得：＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).当n＝1时，上面的等式也成立.∴an＝a1qn－1(n∈N*).知识点四等比数列通项公式的推广思考1我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？【答案】在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*).思考2我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？【答案】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，差的正负由a1，q，q－1的正负共同决定.当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；q＜0时，{an}是摆动数列，q＝1时，{an}是常数列.知识点五由等比数列衍生的等比数列思考1等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列.【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com思考2试把思考1推广到一般的等比数列.【答案】(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列.(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列.知识点六等比数列的性质思考1在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2)是否成立？【答案】 a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aq8＝(a1q4)2＝a，a＝a1a9成立.同理a＝a3a7成立，a＝an－2·an＋2也成立.思考2由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？【答案】一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N*).证明： am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴am·an＝aqm＋n－2，同理，as·at＝aqs＋t－2， m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.若m＋n＝2k，则am·an＝a.知识点七等比数列的前n项和公式的推导思考1对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋26...