小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题拓展：利用空间向量解决探索性问题一、与空间向量有关的探索性问题一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。三、动点的设法（减少变量数量）在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而(x,y,z)可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理若—，使得【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，方法如下：，因为在上，所以∴，所以可设点.2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。依据：平面向量基本定理若—，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示，方法如下：，，故，即所以可设点.考点一：平行问题中的动点探索例1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1);(2)存在，【解析】（1）在直三棱柱中，因为；以点为坐标原点，方向分别为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com因为，所以，所以，设是平面的法向量，则，即，取，则，所以是平面的一个法向量.又因为点坐标为，所以.设与平面所成的角为，则.即与平面所成的角正弦值为.（2）存在，线段上靠近的三等分点，满足平面.因为为的中点，所以，设，所以所以，由（1）知平面的一个法向量为.若平面，则，所以，即，解得，所以存在，线段上靠近的三等分点，使得平面，则，即的长为小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，已知正方体中，点分别在棱和上，.(1)求平面与平面的夹角的余弦值；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在，【解析】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，由已知可得平面的法向量为，易知，所以，设平面的法向量为，所以，取，则，所以设平面与平面夹角为，所以.（2）假设在线段上存在点，使得平面，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由可得，设，所以，所以，若平面，可知，所以，即故在线段上存在点使得平面.【变式1-2】（23-24高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点．(1)求多面体的体积；(2)求点到平面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得平面？【答案】(1)5；(2)；(3)存在【解析】（1）（2）设点到平面的距离为，由得，在中，，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，，故的面积为由以上数据解得.（3）如图，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，，，，，则，，．设面的法向量，则，即．令得．因为平面，所以，即．所以，得，，所以．因为，，所以存在在三等分点处靠近，使得平面．【变式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．小学、初中、高中各种试卷真...