小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破01奔驰定理与四心问题目录01方法技巧与总结...............................................................................................................................202题型归纳与总结...............................................................................................................................3题型一：奔驰定理................................................................................................................................3题型二：重心定理..............................................................................................................................10题型三：内心定理..............................................................................................................................13题型四：外心定理..............................................................................................................................17题型五：垂心定理..............................................................................................................................2203过关测试.........................................................................................................................................25小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．技巧三．三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（4）是的垂心：．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．题型一：奔驰定理例【典1-1】已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】由，得，如图，分别是的中点，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以在线段上，且，得，设，则，所以，因为，，，所以，则，解得.故选：B例【典1-2】点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（）A．B．3C．D．2【答案】C【解析】因为，所以，即，取中点为点，则，即，所以在中线上，且过，分别作边上的高，垂足为，则，所以，，所以，所以，故选：C.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【式1-1】设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（）A．B．18C．16D．9【答案】B【解析】设中，角的对边分别为，，由，得，，若，则，，有，得，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是18.故选：B【式变1-2】设，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则A．B．C．D．【答案】D【解析】连接并延长，则通过的中点，过，分别向所在直线作垂线，垂足分别为，，如图所示小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com与的面积之比为根据三角形相似可知，则即由平行四边形法则得根据待定系数法有，则故选【式变1-3题】（多）选奔驰定理因其几何表示酷似...