小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com奔驰定理与三角形四心【知识拓展】1.奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA＋S2·PB＋S3·PC＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)【类型突破】类型一利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题例1(1)已知O是△ABC内部一点，满足OA＋2OB＋mOC＝0，且＝，则实数m＝()A.2B.3C.4D.5(2)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC＝()A.14∶3B.19∶4C.24∶5D.29∶6训练1设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________.类型二奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)考向1奔驰定理与重心小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aGA＋40bGB＋35cGC＝0，则角B＝________.考向2奔驰定理与外心例3已知点P是△ABC的外心，且PA＋PB＋λPC＝0，C＝，则λ＝________.考向3奔驰定理与内心例4(2024·封开调研)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若AO＝λAB＋μBC，则3λ＋6μ的值为()A.1B.2C.3D.4考向4奔驰定理与垂心例5(2024·重庆质检)已知H是△ABC的垂心，若HA＋2HB＋3HC＝0，则角A＝________.易错提醒涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.训练2(1)设I为△ABC的内心，且2IA＋3IB＋IC＝0，则角C＝________.(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，则x＋y的最大值是________.【精准强化练】一、单选题1.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设AO＝λAB＋μAC，则实数λ和μ的值分别为()A.，B.，C.，D.，2.点P在△ABC内部，满足PA＋2PB＋3PC＝0，则S△ABC∶S△APC＝()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA.2∶1B.3∶2C.3∶1D.5∶33.已知O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，AB·AC＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.B.C.D.4.△ABC内一点O满足关系式S△OBC·OA＋S△OAC·OB＋S△OAB·OC＝0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心5.如图，已知O是△ABC的垂心，且OA＋2OB＋3OC＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于()A.1∶2∶3B.1∶2∶4C.2∶3∶4D.2∶3∶6二、多选题6.如图，设P，Q为△ABC内的两点，且AP＝AB＋AC，AQ＝AB＋AC，则()A.＝B.＝C.＝D.＝7.已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·OA＋S△AOC·OB＋S△AOB·OC＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有()小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comA.若2OA＋3OB＋4OC＝0，则S△BOC∶S△AOC∶SAOB＝4∶3∶2B.若|OA|＝|OB|＝2，∠AOB＝，且2OA＋3OB＋4OC＝0，则S△ABC＝C.若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则O为△ABC的垂心D.若O为△ABC的内心，且5OA＋12OB＋13OC＝0，则∠ACB＝三、填空题8.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2OA＋2OB＋3OC＝0，则△ABC的外接圆面积为________.9.(2024·水丽调研)若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC＝0.则△ABC的面积为________.10.已知点P，Q在△ABC内，若PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则＝________.【解析版】1.奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA＋S2·PB＋S3·PC＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|PA|＝x，|PB|＝y，|PC|＝z.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com根据三角形正弦定理面积公式得S1PA＋S2PB＋S3PC＝yzsin[2π－(α＋β)]·PA＋xzsinβPB＋xysinαPC...