小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com数列中的放缩问题【知识拓展】1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.2.通项放缩常见结论(1)>＝－；(2)<＝－(n≥2)；(3)<＝(n≥2)；(4)＝<＝2；(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；(8)＝>＝2(－＋)；(9)＝<＝＝(－＋)；(10)＝<＝＝－(n≥2)；(11)＝<＝·＝·＝·<2(n≥2)；(12)＝<＝＝＝－(n≥2)；(13)＝<＝＝－；(14)<＝－(n≥2).【类型突破】类型一先求和再放缩证明不等式小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com于列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放明对数缩证.例1(2024·沈模阳拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝＋，证明b1＋b2＋…＋bn<.训练1(2024·潭模鹰拟)设Sn为数列{an}的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.(1)求{an}的通项公式；(2)令bn＝，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：Tn≤6n－1.类型二先放缩通项再求和证明不等式若列和的不等式不易求和，一般先适放通，然后累加求和数当缩项.例2(2024·水丽调研)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝n2＋n(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝，求T99；(3)证明：＋＋＋…＋>9.训练2已知数列{an}满足a1＝4，当n≥2时，an－4an－1＝－.(1)求数列{an}的通项公式；(2)已知数列bn＝nan－1，证明：＋＋…＋<.类型三通项放缩与求值(1)通放确定新列；项缩数(2)先放再求和式子的用缩应.例3已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且an，Sn，a为等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若m为正整数，记集合的元素个数为bm，求数列{bn}的前50项和T50.训练3(2024·合肥质检)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝3，T＝a.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求[S2024]([x]表示不超过x的最大整数).小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【精准强化练】1.记Tn为正项数列{an}的前n项积，且a1＝1，a2＝2，TnTn＋2＝2T.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<.2.(2024·重庆诊断)已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝＋＋…＋，求证：T2n<3.【解析版】1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.2.通项放缩常见结论(1)>＝－；(2)<＝－(n≥2)；(3)<＝(n≥2)；(4)＝<＝2；(5)Tr＋1＝C·＝·<<＝－(r≥2)；(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；(8)＝>＝2(－＋)；(9)＝<＝＝(－＋)；(10)＝<＝＝－(n≥2)；(11)＝<＝·小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com＝·＝·<2(n≥2)；(12)＝<＝＝＝－(n≥2)；(13)＝<＝＝－；(14)<＝－(n≥2).【类型突破】类型一先求和再放缩证明不等式于列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放明对数缩证.例1(2024·沈模阳拟)已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝＋，证明b1＋b2＋…＋bn<.(1)解由意可知，题当n＝1，时a1＝2；当n≥2，由时a1＋2a2＋…＋nan＝(n－1)·2n＋1＋2得，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)·2n＋2，式作差可得，两nan＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴an＝2n，a1＝2也适合式，故该an＝2n.(2)证明由意知题bn＝＋＝＋，故b1＋b2＋…＋bn＝＋＝1－＋－×＝－，由于n∈N*，则＋>0，故－<，即b1＋b2＋…＋bn<.规律方法此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数的单调性放缩.训练1(2024·潭模鹰拟)设Sn为数列{an}的前n项和，已知是首项为、公差为的等差数列.(1)求{an}的通项公式；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)令bn＝，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：Tn≤6n－1.(1)解因为是首、公差的等差...