小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题31数列第七缉1．【2017年内蒙古预赛】已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk=12akak+1¿N+¿¿),其中a1=1.(1)求数列{ak}的通项公式.(2)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足：bk+1bk=k−nak+1(k=1,2,3,⋯,n),b1=1求b1+b2+⋯+bn.【答案】(1)ak=k¿；(2)1n.【解析】(1)当k=1时,由a1=s1=12a1a2及a1=1,得a2=2.当k≥2时,由ak=sk−sk−1=12akak+1−12ak−1ak,得ak(ak+1−ak−1)=2ak.因为ak≠0,所以ak+1−ak−1=2.从而a2m−1=1+(m−1)×2=2m−1¿故ak=k¿.所以ak=k.综上所述ak=k¿.(2)因为ak=k,所以bk+1bk=−n−kak+1=−n−kk+1，所以bk=bkbk−1⋅bk−1bk−2⋅⋯⋅b2b1⋅b1=(−1)k−1⋅(n−k+1)(n−k+2)⋯(n−1)k⋅(k−1)⋅⋯⋅2⋅1.所以b1+b2+⋯+bn=1n[Cn1−Cn2+Cn3−⋯+(−1)n−1Cnn]小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com¿1n{1−[Cn0−Cn1+Cn2−⋯+(−1)nCnn]}=1n.2．【2016年福建预赛】已知数列｛an｝的前n项和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通项公式an；（2）设bn=1an−1n(n+1)，Tn为数列｛bn｝的前n项和，求正整数k，使得对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn；（3）设cn=an+1(1+an)(1+an+1)，Rn为数列{cn}的前n项和，若对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，求λ的最小值.【答案】(1)an=2n.(2)k=4.(3)23【解析】（1）由Sn=2an-2，得5n+1=2n+1-2.两式相减得an+1=2an+1-2an⇒an+1=2an.于是，{an}为等比数列，公比q=2.由S1=2a1-2⇒a1=2al-2⇒a1=2.从而，an=2n.（2）由（1）知bn=12n−1n(n+1)=1n(n+1)(n(n+1)2n−1).计算知b1=0，b2>0，b3>0，b4>0.当n≥5时，由n(n+1)2n−(n+1)(n+2)2n+1=(n+1)(n−2)2n+1>0，知当n≥5时，{n(n+1)2n}为递减数列.于是，n≥5时，n(n+1)2n≤5(5+1)25<1.则n≥5时，bn=1n(n+1)(n(n+1)2n−1)<0.故T1<T2<T3<T4，T4>T5>….从而，对任意的n∈Z+，均有T4≥Tn.因此，k=4.（3）由（1）知小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comcn=an+1(1+an)(1+an+1)=2n+1(1+2n)(1+2n+1)=2(12n+1−12n+1+1)⇒Rn=2∑k=1n(12k+1−12k+1+1)=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1又对任意的n∈Z+，均有Rn<λ，知A≥23.从而，λ的最小值为23.3．【2016年山东预赛】已知数列{xn}满足x1>0,xn+1=❑√5xn+2❑√xn2+1¿.证明：在x1,x2,⋯,x2016中，最少可以找到672个无理数.【答案】672【解析】由归纳知{xn}为正项数列，且xn+1=❑√5xn+2❑√xn2+1>xn⇒(xn+1−❑√5xn)2=4(xn2+1)⇒xn+12+xn2−2❑√5xnxn+1=4.类似地，xn+22+xn+12−2❑√5xn+1xn+2=4.两式相减得(xn+2−xn)(xn+2+xn−2❑√5xn+1)=0⇒xn+2+xn−2❑√5xn+1=0⇒xn+2+xnxn+1=2❑√5.于是，xn、xn+1、xn+2三项中至少有一项为无理数.从而，x1,x2,⋯,x2016中到少有[20163]=672项为无理数，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.设x2k=❑√5a2k,x2k+1=a2k+1(an∈R)，且a1=a2=1,a2k−1+a2k+1=10a2k，a2k+a2k+2=2a2k+1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com其中，k∈Z+¿¿.则xn、xn+1、xn+2中有[20163]=672项为无理数.4．【2016年安徽预赛】已知数列{an}满足a0=1,a1=5，an=2a❑n−12−3an−1−92an−2(n≥2)用数学归纳法证明：an=2n+2−3.【答案】an=2n+2−3【解析】由a0=22−3,a1=23−3，知an=2n+2−3对n=0,1成立.当n≥2时，假设an−2=2n−3,an−1=2n+1−3.由递推公式有an=2a❑n−12−3an−1−92an−2=2(2n+1−3)2−3(2n+1−3)−92(2n−3)=4×22n−15×2n+92n−3¿4×2n−3.因此，an=2n+2−3对n≥0一切成立.5．【2016年全国】设p与p+2均为素数，p>3.定义数列{an}：a1=1，an=an−1+[pan−1n](n=2,3⋯)，其中，[x]表示不小于实数x的最小整数.证明对n=3,4⋯,p−1，均有n¿.【答案】见解析...