2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）第04讲基本不等式目录易混易错练3常用结论2知识梳理1考点分类练4最新模拟练51．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：_____________.(2)等号成立的条件：当且仅当_____.a>0，b>0a＝b【知识梳理】2．几个重要的不等式1a2＋b2≥______a，b∈R；2ba＋ab≥___a，b同号且不为零；3ab≤a＋b22a，b∈R；4a＋b22≤a2＋b22a，b∈R.当且仅当a＝b时等号成立2ab23．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为____，基本不等式可叙述为：______________________________________．a＋b2ab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数提醒：在用基本不等式求最，一定要求解的前提应值时检验条件：“一正、二定、三相等”，其中等能否取到易被忽．号视4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)x＋y≥2xy，若xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值_____(简记：积定和最小)．(2)xy≤x＋y22，若x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值____(简记：和定积最大)．2pq24重要不等式链若a≥b＞0，则a≥a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b≥b.【常用结论】易错点1忽略应用基本不等式的前提而致错解析1．求2＋x＋5x(x<0)的最值． x<0，∴－x>0，∴2＋x＋5x＝2－－x－5x.又 －x－5x≥2（－x）·－5x＝25，∴2＋x＋5x＝2－(－x－5x)≤2－25，当且仅当－x＝－5x，且x<0，即x＝－5时，等号成立．即2＋x＋5x的最大值为2－25.【易混易错练】易错点2忽略等号成立的条件而致错解析2．已知0＜x≤3，则y＝x＋16x的最小值为()A.253B．8C．20D．10 当0＜x≤3时，y＝x＋16x的值随着自变量x的增大而减小，∴当x＝3时，y取得最小值，最小值为3＋163＝253.故选A.A解析3．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则x＋8yxy的最小值为________．因为x，y为正数，且x＋2y＝2，所以x＋8yxy＝1y＋8x·x2＋y＝x2y＋8yx＋5≥2x2y·8yx＋5＝9，当且仅当x＝4y＝43时，等号成立，所以x＋8yxy的最小值为9.9易错点3多次应用基本不等式而致错解析4．已知x>0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋1x＋y＋1y的最小值为()A．3B．4C．5D．6p＝x＋x＋yx＋y＋x＋yy＝3＋yx＋xy≥3＋2yx·xy＝5，当且仅当x＝y＝12时，等号成立．C利用基本不等式求最值的三种方法命题点1利用基本不等式求最值【分类真题练】A.4B.6C.3D.10D2角度2常数代换法例2(1)[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为()A.54B.56C.72D.81C8A.2B.2C.4D.4C(2)[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是.A.0B.1C.2D.3C例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3(2)[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1[解析]解法一由题意得，x2＋y2＝xy＋1，所以(x＋y)2＝3xy＋1，当x＞0且y＞0时，显然有(x＋y)2＞1，即x＋y＞1，故A错误.因为x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确.因为(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，BC例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练3利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f(x)＝x＋ax(a＞0)的单调性．角度2利用基本不等式解决实际问题例5[江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.30(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本).(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？例1例2例3训练1例4例5例6训练2例7例8训练320角度2判断关于...
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