§8.12圆锥曲线中定点与定值问题第八章直线和圆、圆锥曲线题型一定点问题例1(2022·全乙卷国)已知椭圆E的中心坐原点，为标对称轴为x、轴y，轴且过A(0，－2)，点两.(1)求E的方程；B32，－1设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，由椭圆E过A(0，－2)，B32，－1点，两得4n＝1，94m＋n＝1，解得m＝13，n＝14，∴椭圆E的方程为y24＋x23＝1.(2)点设过P(1，－2)的直交线E于M，N点，两过M且平行于x的直段轴线与线AB交于点T，点H足满.明：直证线HN定点过.MT→＝TH→直当线MN的斜率不存在，时lMN：x＝1，由x＝1，x23＋y24＝1得y2＝83，∴y＝±263.合意可知结题M1，－263，N1，263，∴过M且平行于x的直的方程轴线为y＝－263.易知点T的坐横标xT∈0，32，直线AB的方程为y－(－2)＝－1－－232－0×(x－0)，即y＝23x－2，由y＝－263，y＝23x－2得xT＝3－6，∴T3－6，－263. MT→＝TH→，∴H5－26，－263，lHN：y－263＝46326－4(x－1)，即y＝23＋63x－2.此直时线HN定点过(0，－2).直当线MN的斜率存在，如，时图设M(x1，y1)，N(x2，y2)，lMN：y＝kx＋m(由直线MN点过P(1，－2)可得k＋m＝－2).由y＝kx＋m，x23＋y24＝1，得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，Δ>0，∴x1＋x2＝－6km3k2＋4，x1x2＝3m2－123k2＋4.过M且平行于x的直的方程轴线为y＝y1，直与线AB的方程立，得联y＝y1，y＝23x－2，得xT＝3y1＋22，∴T3y1＋22，y1. MT→＝TH→，∴H(3y1＋6－x1，y1)，lHN：y－y2＝y1－y23y1＋6－x1－x2(x－x2)，即y＝y1－y23y1＋6－x1－x2x＋y2－y1－y23y1＋6－x1－x2·x2.令x＝0，得y＝y2－y1－y2x23y1＋6－x1－x2＝－x1y2＋x2y1＋3y1y2＋6y2－x1＋x2＋6＋3y1＝－x1y2＋x2y1＋3y1y2＋6y2－x1＋x2＋6＋3y1 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝－12k2＋4m23k2＋4，y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)＝k(x1＋x2)＋2m＝8m3k2＋4，x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)＝－24k3k2＋4，∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2＝24k3k2＋4＋－36k2＋12m23k2＋4＝－36k2＋12m2＋24k3k2＋4＝－24k2－3k－23k2＋4，－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)＝6km3k2＋4＋6＋24m3k2＋4＝6km＋18k2＋24＋24m3k2＋4＝12k2－3k－23k2＋4，∴y＝－24k2－3k－23k2＋4＋6y212k2－3k－23k2＋4－3y2＝－2，∴直线HN定点过(0，－2).上，直综线HN定点过(0，－2).思维升华思维升华求解直或曲定点的基本思路线线过问题(1)把直或曲方程中的量线线变x，y作常看待，把方程一端化当数为零，然是定点，那方程就要任意都成立，既过么这个对参数这时参数的系就要全部等于零，就得到一于数这样个关x，y的方程，组这个方程的解所确定的点就是直或曲所的定点组线线过.(2)由直方程确定其定点，若得到了直方程的点斜式线过时线y－y0＝k(x－x0)，直必定点则线过(x0，y0)；若得到了直方程的斜截式线y＝kx＋m，直必定点则线过(0，m).跟踪训练1(2023·州郑质检)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上点和顶焦点成的三角形等腰直角三角形，且面两构为积为2，点M为椭圆C的右点顶.(1)求椭圆C的方程；x2a2＋y2b2由意知题b＝c，bc＝2，解得b＝c＝2，又a2－b2＝c2，则a＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1.(2)若点经过P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B点，两实数t取何值以时AB直的恒点为径圆过M?由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，直则线l的方程为x＝t(－2<t<2)，此时At，2－t22，Bt，－2－t22，由MA→·MB→＝0得t－2，2－t22·t－2，－2－t22＝0，解得t＝23或t＝2(舍)，即t＝23.若直线l的斜率存在，不妨直设线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，立联y＝kx－t，x24＋y22＝1，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.所以x1＋x2＝4k2t1＋2k2，x1x2＝2k2t2－41＋2k2.由意知题MA→·MB→＝0，即(x1－2，y1)·(x...
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