小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题09利用空间向量证明平行与垂直问题1．两个重要向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．显然一条直线的方向向量有无数个，它们是共线向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝03．利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线．线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．4．利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量共线；②利用线面垂直的判定定理用向量表示．面面垂直①证明两个平面的法向量垂直；②利用面面垂直的判定定理用向量表示5．利用空间向量证明线、面垂直(平行)的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【例题选讲】[例1]如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1．(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D．解析如，以图C1点原点，为C1A1，C1B1，C1C所在直分线别为x，轴y，轴z建立空直角坐系轴间标．设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0，0，2)，A1(2，0，0)，B1(0，2，0)，C1(0，0，0)，D(1，1，2)．(1) BC1＝(0，－2，－2)，AB1＝(－2，2，－2)，∴BC1·AB1＝0－4＋4＝0，∴BC1⊥AB1，∴BC1⊥AB1．(2)取A1C的中点E， E(1，0，1)，∴ED＝(0，1，1)，又BC1＝(0，－2，－2)，∴ED＝－BC1，且ED和BC1不重合，则ED∥BC1．又ED⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，故BC1∥平面CA1D．[例2]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，过点E作EF⊥PB于点F．求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD．解析以D坐原点，射为标线DA，DC，DP分别为x、轴y、轴z的正方向建立如所示的空直轴图间角坐系标D－xyz．设DC＝a．(1)接连AC交BD于点G，接连EG．依意得题A(a，0，0)，P(0，0，a)，C(0，a，0)，E．因底面为ABCD是正方形，所以G为AC的中点，故点G的坐，标为所以PA＝(a，0，－a)，EG＝，则PA＝2EG，故PA∥EG．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com而EG⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．(2)依意得题B(a，a，0)，所以PB＝(a，a，－a)．又DE＝，故PB·DE＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，所以PB⊥DE．由可知题EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．[例3]如图，正方形ABCD的边长为2，四形边BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．(1)求证：AE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面AEF．解析如，图取BC的中点H，接连OH，则OH∥BD，又四形边ABCD正方形，为∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O原点，建立如所示的直角坐系，为图标则A(3，0，0)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0)．BC＝(－2，－2，0)，CF＝(1，0，)，BF＝(－1，－2，)．(1)平面设BCF的一法向量个为n＝(x，y，z)．即则取z＝1，得n＝(－，，1)．又四形边BDEF平行四形，为边∴DE＝BF＝(－1，－2，)，∴AE＝AD＋DE＝BC＋BF＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－...