专题14错位相减法求和【基本知识】错位相减法求和1．错位相减法：错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把Sn＝a1＋a2＋…＋an两边同乘以相应等比数列的公比q，得到qSn＝a1q＋a2q＋…＋anq，两式错位相减即可求出Sn．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．(3)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．如：已知un＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋abn－1＋bn(a>0，b>0，n∈N*)．(1)当a＝2，b＝3时，求un；(2)若a＝b，求数列{un}的前n项和Sn．解析(1)当a＝2，b＝3时，un＝2n＋2n－1·3＋2n－2·32＋…＋2·3n－1＋3n(n∈N*)，两边除以2n，得＝1＋＋2＋…＋n－1＋n＝＝＝－2，所以un＝3n＋1－2n＋1．(2)若a＝b，则un＝(n＋1)an，所以Sn＝2a＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an，①当a＝1时，Sn＝2＋3＋…＋(n＋1)＝；当a>0，a≠1时，在①的两边同乘以a，得aSn＝2a2＋3a3＋4a4＋…＋(n＋1)an＋1，与①式作差，得(1－a)Sn＝2a＋a2＋a3＋…＋an－(n＋1)an＋1＝a＋－(n＋1)an＋1，所以Sn＝＋－．综上，Sn＝【基本题型】1．等差(比)数列＋错位相减法型[例1]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且＝＋5．(1)求an；(2)若bn＝an·4求数列{bn}的前n项的和Tn．[例2]已知各项均为正数的等比数列{an}，满足a1＝1，且－＝．(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log2an＋1，求数列的前n项和Tn．[例3]已知等比数列{an}的前n项和Sn满足4S5＝3S4＋S6，且a3＝9．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝(2n－1)·an，求数列{bn}的前n项和Tn．[例4]已知等差数列{an}满足：an＋1>an(n∈N*)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an＋2log2bn＝－1．(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn．[例5](2020·全国Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{an}的公比；(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．[例6](2017·天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．[例7](2017·山东)已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2．(1)求数列{xn}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn．【对点精练】1．(2017·山东)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3．(1)求数列{an}的通项公式；(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn．已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2．已知等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a2＋a3＝24，Sn为数列{an}的前n项和．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an·log3(Sn＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn．3．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋2＝Sn＋．(1)求数列{an}的首项a1和公比q；(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com4．已知各项均为正数的等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，且a1＋2，a2＋5，a3＋13构成等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．5．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝1，且2a2，a4，3a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com6．已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2...