板块二三角函数与平面向量创新点2三角函数与解三角形创新题型突破高考定位三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.精准强化练题型一解三角形的新情境问题题型二三角函数的新定义问题题型三三角与数列的交汇题型突破题型一解三角形的新情境问题例1√(2024·黑龙江二模)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木块，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足cosα＝13，则这块四边形木板周长的最大值为A.10（30＋15）3cmB.10（30－15）3cmC.10（10＋5）3cmD.10（10－5）3cm因为四边形木板的一个内角α满足cosα＝13，如图，设∠BAD＝α，由题设可得圆的直径为100＋25＝55，故BD＝55sinα，因cosα＝13，α为三角形内角，故sinα＝223，故BD＝55×223＝10103，故AB2＋AD2－2AD·ABcosα＝BD2＝10009，故(AB＋AD)2＝83AD·AB＋10009≤2（AD＋AB）23＋10009，故AB＋AD≤10009×3＝10303，当且仅当AB＝AD＝5303时等号成立，同理BC＋CD≤10153，当且仅当BC＝CD＝5153等号成立，故四边形周长的最大值为10（30＋15）3cm，故选A.解决此类问题首先应充分理解题意，作出示意图，把已知量尽量集中在一个三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理求解.规律方法我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑动到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，∠BAC的正弦值是________.训练142125依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝12AD′＝20(cm)，当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，所以BD＝20(cm)，在△ABD中，cos∠BAD＝AB2＋AD2－BD22AB·AD＝400＋256－4002×20×16＝25>0，则∠BAD为锐角，所以sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－252＝215，所以sin∠BAC＝sin(2∠BAD)＝2sin∠BADcos∠BAD＝2×215×25＝42125.题型二三角函数的新定义问题例1因为f(x)＝2x，则f(x＋2π)＝2(x＋2π)＝2x＋4π，又f(2π)＝4π，所以f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)，故函数f(x)＝2x具有性质P；因为g(x)＝cosx，则g(x＋2π)＝cos(x＋2π)＝cosx，又g(2π)＝cos2π＝1，g(x)＋g(2π)＝cosx＋1≠g(x＋2π)，故g(x)＝cosx不具有性质P已知定义域为R的函数h(x)满足：对于任意的x∈R，都有h(x＋2π)＝h(x)＋h(2π)，则称函数h(x)具有性质P.(1)判断函数f(x)＝2x，g(x)＝cosx是否具有性质P；(直接写出结论)(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(32<ω<52，|φ|<π2)，判断是否存在ω，φ，使函数f(x)具有性质P？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；若函数f(x)具有性质P，则f(0＋2π)＝f(0)＋f(2π)，即f(0)＝sinφ＝0，因为|φ|<π2，所以φ＝0，所以f(x)＝sin(ωx)；所以必有f(2π)＝0成立，即sin(2ωπ)＝0，因为32<ω<52，所以3π<2ωπ<5π，所以2ωπ＝4π，则ω＝2，此时f(x)＝sin2x，则f(x＋2π)＝sin2(x＋2π)＝sin2x，则f(x)＋f(2π)＝sin2x＋sin4π＝sin2x，即有f(x＋2π)＝f(x)＋f(2π)成立，所以存在ω＝2，φ＝0使函数f(x)具有性质P.(3)设函数f(x)具有性质P，且在区间[0，2π]上的值域为[f(0)，f(2π)].函数g(x)＝sin(f(x))，满足g(x＋2π)＝g(x)，且在区间(0，2π)上有且只有一个零点.求证：f(2π)＝2π.由函数f(x)具有性质P及(2)可知，f(0)＝0，由g(x＋2π)＝g(x)可知函数g(x)是以2π为周期的周期函数，则g(2π)＝g(0)，即sin(f(2π))＝sin(f(0))＝0，所以f(2π)＝kπ，k∈Z；由f(0)＝0，f(2π)＝kπ以及题设可知，函数f(x)在[0，2π]的值域为[0，kπ]，所以k∈Z且k>0；当k>2，f(x)＝π及f...