板块二三角函数与平面向量提优点5极化恒等式与等和线知识拓展1.极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：①PM→·PN→＝14(|PQ→|2－|NM→|2)(平行四边形模式)；②PM→·PN→＝|PO→|2－14|NM→|2(三角形模式).2.平面向量共线定理已知平面内一组基向量OA→，OB→及任一向量OP→，且OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.3.平面向量等和线定理平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP→，且OP→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝|OP||OF|＝|OB1||OB|＝|OA1||OA|，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0.精准强化练类型一利用极化恒等式求向量的数量积类型二利用等和线求基底系数和的值类型突破例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值为________.78设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，有AB→·AC→＝AD→2－DB→2＝9n2－m2＝4，FB→·FC→＝FD→2－DB→2＝n2－m2＝－1，联立解得n2＝58，m2＝138.因此EB→·EC→＝ED→2－DB→2＝4n2－m2＝78.即BE→·CE→＝78.类型一利用极化恒等式求向量的数量积连接MD，(2)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝42，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME→·MF→的最小值为________.－4根据向量的极化恒等式，有ME→·MF→＝|MD→|2－14|EF|2＝MD→2－8，由于△ABC为等腰直角三角形，M为线段AB上的点，所以BC＝AC·sinπ4＝4，因此MD≥12BC＝2，所以ME→·MF→≥4－8＝－4，即ME→·MF→的最小值为－4.在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)利用平面几何法或正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.如需进一步求数量积的范围，可以用点到直线的距离最小，或用三角形两边之和大于第三边，或用基本不等式等求得中线长的最值(范围).注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.规律方法训练1√(1)已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足|PC|＝1，则PA→·PB→的最小值为A.4－22B.3－22C.3－23D.4－23因为动点P满足|PC|＝1，所以点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，如图所示：设D为AB的中点，则PA→·PB→＝(PD→＋DA→)·(PD→＋DB→)＝PD→2－DB→2＝PD→2－1；所以当|PD→|取最小值时，PA→·PB→取得最小值，|PD→|min＝|CD→|－1＝3－1，所以PA→·PB→＝PD→2－1≥(3－1)2－1＝3－23.故选C.－16(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.因为M是BC的中点，由极化恒等式得AB→·AC→＝|AM→|2－14|BC→|2＝9－14×100＝－16.例2√(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝A.1B.34C.23D.12法一 E为线段AO的中点，∴BE→＝12(BA→＋BO→)＝12BA→＋12BD→＝12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，∴λ＝12，μ＝14，则λ＋μ＝34.类型二利用等和线求基底系数和的值法二(等和线法)如图，AD为BA→，BD→为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝|BE||BF|.由图易知|BE||BF|＝34，故选B.(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.12法一由题意作图如图. 在△ABC中，DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋...
