板块二三角函数与平面向量微专题11三角恒等变换高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.以选择、填空题的形式出现或隐含于解答题中，难度一般为中档偏下.【真题体验】√1.(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25π12＝A.12B.33C.22D.32因为cos5π12＝sinπ2－5π12＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12＝cos2π12－sin2π12＝cos2×π12＝cosπ6＝32.故选D.√2.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝1＋54，则sinα2＝A.3－58B.－1＋58C.3－54D.－1＋54由题意，cosα＝1＋54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝5－142，又α为锐角，所以sinα2>0，所以sinα2＝－1＋54，故选D.√3.(2024·全国甲卷)已知cosαcosα－sinα＝3，则tanα＋π4＝A.23＋1B.23－1C.32D.1－3根据题意有cosα－sinαcosα＝33，即1－tanα＝33，所以tanα＝1－33，所以tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝2－3333＝23－1，故选B.4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝2＋1，则sin(α＋β)＝________.－223由题知tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝41－2－1＝－22，即sin(α＋β)＝－22cos(α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±223.由2kπ<α<2kπ＋π2，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋3π2，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－223.精准强化练热点一化简问题热点二求值问题热点三求角问题热点突破热点一化简问题例1√(1)(2024·宜昌联考)cos70°cos20°1－2sin225°＝A.34B.32C.12D.2cos70°cos20°1－2sin225°＝sin20°cos20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.√(2)(2024·西安模拟)cos55°＋sin25°sin30°cos25°等于A.12B.22C.32D.1cos55°＋sin25°sin30°cos25°＝cos（25°＋30°）＋sin25°sin30°cos25°＝cos25°cos30°－sin25°sin30°＋sin25°sin30°cos25°＝cos25°cos30°cos25°＝cos30°＝32.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.规律方法训练1(1)化简：2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝________；4sinα2sin（π－α）＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα12（1＋cosα）＝4sinα（1＋cosα）1＋cosα＝4sinα.－2(2)(tan10°－3)·cos10°sin50°＝________.原式＝sin10°－3cos10°cos10°·cos10°sin50°＝－2sin50°sin50°＝－2.热点二求值问题求三角函数值的一般步骤(1)化简条件式子或待求式子；(2)观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.例2√(1)(2024·衡阳模拟)已知cosα＋π6＝33，则sin2α－π6等于A.－23B.23C.－13D.13sin2α－π6＝sin2α＋π6－π2＝－cos2α＋π6＝1－2cos2α＋π6＝1－2×13＝13.(2)(2024·河南部分学校联考)若锐角α，β满足sin(α－β)＝13，cosα＋π6＝23，则cosβ＋π6＝_______________.42＋59因为0<α<π2，0<β<π2，则－π2<α－β<π2，π6<α＋π6<2π3，由sin(α－β)>0，cosα＋π6>0可得0<α－β<π2，π6<α＋π6<π2，所以cos(α－β)＝1－sin2（α－β）＝223，sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝53，所以cosβ＋π6＝cosα＋π6－（α－β）＝cosα＋π6cos(α－β)＋sinα＋π6sin(α－β)＝23×223＋53×13＝42＋59.1.注意观察条件与所求之间关系：如函数名...