板块二三角函数与平面向量微专题14三角形中的“特征”线高考定位与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形，难度中档或偏下.【真题体验】真题体验(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.(1)若∠ADC＝π3，求tanB；因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2·12·AD·DCsin∠ADC＝2×12×1·DC·32＝3，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π3.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7.法一在△ADC中，由余弦定理，得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝3.在△ABC中，由余弦定理，得cosB＝c2＋a2－b22ac＝7＋16－32×4×7＝5714，所以sinB＝1－cos2B＝2114，所以tanB＝sinBcosB＝35.法二在△ABD中，由正弦定理，得csin∠ADB＝ADsinB，所以sinB＝ADsin∠ADBc＝2114，又B∈0，π3，所以cosB＝1－sin2B＝5714，所以tanB＝sinBcosB＝35.(2)若b2＋c2＝8，求b，c.法一因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC，则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD2＋BD2－c22AD·BD＝－AD2＋DC2－b22AD·DC，得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)，所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23.又S△ADC＝12×3×1×sin∠ADC＝32，得sin∠ADC＝1，所以∠ADC＝π2，所以b＝c＝AD2＋CD2＝2.法二因为D为BC的中点，所以BC＝2BD.在△ABD与△ABC中，由余弦定理，得cosB＝c2＋BD2－AD22c·BD＝a2＋c2－b22ac，整理，得2BD2＝b2＋c2－2＝6，得BD＝3，所以a＝23.以下同法一.精准强化练热点一三角形的角平分线热点二三角形的中线热点三三角形的高线热点突破热点一如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.1.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC＝BDDC.2.因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，所以12c·ADsin∠BAC2＋12b·ADsin∠BAC2＝12bcsin∠BAC，所以(b＋c)AD＝2bccos∠BAC2，整理得AD＝2bccos∠BAC2b＋c(角平分线长公式).例1在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cosC·sinB＋π6＋cosA＝0.(1)求角C的大小；由已知可得2cosC·32sinB＋12cosB－cos(B＋C)＝0，整理得，sinB(3cosC＋sinC)＝0，因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以3cosC＋sinC＝0，即tanC＝－3，因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.3sinBcosC＋cosBcosC－(cosBcosC－sinBsinC)＝0，(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝2，BD＝2AD，求△ABC的面积.由题意得，ACBC＝ADBD＝12，即ba＝12，所以a＝2b.因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC，所以12×2bsin60°＋12×2asin60°＝12absin120°，所以b＋a＝12ab.因为a＝2b，所以b＝3，a＝6，所以S△ABC＝12absin120°＝932.解决与三角形的角平分线有关问题的方法(1)利用角平分线定理、找边之间的关系；(2)角平分线把三角形分成两个小三角形，故可利用此两个小三角形的面积和为大三角形的面积求解.规律方法训练12(1)(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________.由余弦定理得cos60°＝AC2＋4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.由角平分线长公式得AD＝2AB·AC·cos∠BAC2AB＋AC＝2×2×（1＋3）×cos30°3＋3＝2.(2)(2024·淄博模拟改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝2π3，∠BAC的角平分线交BC于P点.若AP＝2，BC＝8，则△ABC的面积为__________________.3＋1952△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB，即64＝c2＋b2＋b·c，①由角平分线长公式得AP＝2bccos∠BAC2b＋c即bc＝2(b＋c)，②联立①②得bc＝2＋265，所以S△ABC＝12bcsin∠BAC＝3＋1952.热点二三角形的中线1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).推导过程：在△ABD中，cosB＝AB2＋BD2－AD22AB·BD，在△ABC中，cosB＝...
