板块二三角函数与平面向量提优点6奔驰定理与三角形四心知识拓展1.奔驰定理如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA→＋S2·PB→＋S3·PC→＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，|PA→|＝x，|PB→|＝y，|PC→|＝z.根据三角形正弦定理面积公式得S1PA→＋S2PB→＋S3PC→＝12yzsin[2π－(α＋β)]·PA→＋12xzsinβPB→＋12xysinαPC→＝－12yzsin(α＋β)PA→＋12xzsinβPB→＋12xysinαPC→，①把①式两边与向量PA→作数量积得(S1PA→＋S2PB→＋S3PC→)·PA→＝－12x2yzsin(α＋β)＋12x2yzsinβcosα＋12x2yzsinαcosβ＝12x2yz[－sin(α＋β)＋sinβcosα＋sinαcosβ]＝0.同理：①式两边与向量PB→，PC→作数量积都得0.但是S1PA→＋S2PB→＋S3PC→不可能同时与PA→，PB→，PC→三个向量垂直，而PA→，PB→，PC→也不可能都为0，所以S1PA→＋S2PB→＋S3PC→＝0.该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.2.三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明)(1)点O是△P1P2P3的重心⇔OP1→＋OP2→＋OP3→＝0⇔S△P2OP3＝S△P1OP3＝S△P1OP2＝13S△P1P2P3；(2)点O是△P1P2P3的垂心⇔OP1→·OP2→＝OP2→·OP3→＝OP3→·OP1→⇔tanP1·OP1→＋tanP2·OP2→＋tanP3·OP3→＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝tanP1∶tanP2∶tanP3(△P1P2P3不是直角三角形)；(3)点O是△P1P2P3的内心⇔aOP1→＋bOP2→＋cOP3→＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)；(4)点O是△P1P2P3的外心⇔|OP1→|＝|OP2→|＝|OP3→|⇔OP1→sin2P1＋OP2→sin2P2＋OP3→sin2P3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝sin2P1∶sin2P2∶sin2P3.精准强化练类型一利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题类型二奔驰定理和三角形的四心(四心在三角形内部)题型突破例1√(1)已知O是△ABC内部一点，满足OA→＋2OB→＋mOC→＝0，且S△AOBS△ABC＝47，则实数m＝A.2B.3C.4D.5法一延长CO到点M(图略)，使得OM→＝－m3OC→，因为OA→＋2OB→＋mOC→＝0，所以－m3OC→＝13OA→＋23OB→，即OM→＝13OA→＋23OB→，所以A，B，M三点共线，类型一利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题又因为OC→与OM→反向共线，所以|OM→||CM→|＝mm＋3，所以S△AOBS△ABC＝|OM→||CM→|＝mm＋3＝47，解得m＝4.法二(奔驰定理法)由奔驰定理得S△BOC·OA→＋S△AOC·OB→＋S△AOB·OC→＝0，又OA→＋2OB→＋mOC→＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以S△AOBS△ABC＝m1＋2＋m＝47，解得m＝4.√(2)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ→＝13PA→，QR→＝13QB→，RP→＝13RC→，则S△ABC∶S△PBC＝A.14∶3B.19∶4C.24∶5D.29∶6法一 QR→＝13QB→，∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3，∴S△PQB＝3S△PQR，即S△PRB＝2S△PQR， 以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3，∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR，∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR，同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR，∴S△ABCS△PBC＝S△BCR＋S△ACP＋S△ABQ＋S△PQRS△PBC＝19S△PQR4S△PQR＝194.法二(奔驰定理法)由QR→＝13QB→，得PR→－PQ→＝13(PB→－PQ→)，整理得PR→＝13PB→＋23PQ→＝13PB→＋29PA→，由RP→＝13RC→，得RP→＝13(PC→－PR→)，整理得PR→＝－12PC→，∴－12PC→＝13PB→＋29PA→，整理得4PA→＋6PB→＋9PC→＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.规律方法已知P为△ABC内一点，且xPA→＋yPB→＋zPC→＝0(x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0)，则有(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝|x|∶|y|∶|z|；(2)S△PBCS△ABC＝xx＋y＋z，S△PACS△ABC＝yx＋y＋z，S△PABS△ABC＝zx＋y＋z.训练14设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA→＋OB→＋2OC→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________.法一 D为AB的中点，则OD→＝12(OA→＋OB→)，又OA→＋OB→＋2OC→＝0，∴OD→＝－OC→，∴O为CD的中点.又 D为AB的中点，∴S△...
