板块二三角函数与平面向量微专题15三角中的最值、范围问题高考定位以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是高考的热点，常用的方法主要有：函数的性质(如有界性、单调性)、基本不等式、数形结合等.【真题体验】(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B.(1)若C＝2π3，求B；因为cosA1＋sinA＝sin2B1＋cos2B，所以cosA1＋sinA＝2sinBcosB1＋2cos2B－1，所以cosA1＋sinA＝sinBcosB，所以cosAcosB＝sinB＋sinAsinB，所以cos(A＋B)＝sinB，所以sinB＝－cosC＝－cos2π3＝12.因为B∈0，π3，所以B＝π6.(2)求a2＋b2c2的最小值.由(1)得cos(A＋B)＝sinB，所以sinπ2－（A＋B）＝sinB，且0<A＋B<π2，所以0<B<π2，0<π2－(A＋B)<π2，所以π2－(A＋B)＝B，解得A＝π2－2B，由正弦定理得a2＋b2c2＝sin2A＋sin2Bsin2C＝sin2A＋sin2B1－cos2C＝sin2π2－2B＋sin2B1－sin2B＝cos22B＋sin2Bcos2B＝（2cos2B－1）2＋1－cos2Bcos2B＝4cos4B－5cos2B＋2cos2B＝4cos2B＋2cos2B－5≥24cos2B·2cos2B－5＝42－5，当且仅当cos2B＝22时取等号，所以a2＋b2c2的最小值为42－5.精准强化练热点一三角函数式的最值或范围热点二三角形中有关量的最值或范围热点突破热点一三角函数式的最值或范围求三角函数式的最值或范围问题，首先把函数式化为一个角的同名三角函数形式，接着利用三角函数的有界性或单调性求解.例1已知函数f(x)＝2sinxcosx－23cos2x＋3.(1)求fπ4的值；因为f(x)＝2sinxcosx－23cos2x＋3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，所以fπ4＝2sinπ2－π3＝2sinπ6＝1.(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值.因为x∈0，π2，所以2x－π3∈－π3，2π3，所以sin2x－π3∈－32，1，所以当2x－π3＝π2，即x＝5π12时，f(x)取到最大值2；当2x－π3＝－π3，即x＝0时，f(x)取到最小值－3.求三角函数式的最值、范围问题要注意：(1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式；(2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调性求三角函数式的范围.易错提醒训练1(2024·吉林名校联考)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)ω>1，|φ|<π2的图象经过Aπ4，－2，B5π4，2两点，且f(x)在[－3π4，－π2]上单调.(1)求f(x)的解析式；由题意可得k＋12T＝5π4－π4＝π(k∈N)，则T＝2π2k＋1(k∈N)，则ω＝2k＋1(k∈N).因为f(x)在－3π4，－π2上单调，所以－π2－－3π4≤πω，又ω>1，所以1<ω≤4，所以ω＝3.因为f(x)的图象经过点Aπ4，－2，所以2cos3×π4＋φ＝－2，所以3π4＋φ＝2tπ＋π(t∈Z)，所以φ＝2tπ＋π4(t∈Z).因为|φ|<π2，所以φ＝π4.故f(x)＝2cos3x＋π4.(2)若对任意的x∈π6，π2，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，求实数m的取值范围.因为x∈π6，π2，所以3x＋π4∈3π4，7π4，当3x＋π4＝π，即x＝π4时，f(x)取得最小值，最小值为fπ4＝2cos3×π4＋π4＝－2.因为对任意的x∈π6，π2，不等式2m2－5m＋1≤f(x)恒成立，所以2m2－5m＋1≤－2，所以2m2－5m＋3≤0，即(2m－3)(m－1)≤0，解得1≤m≤32.所以实数m的取值范围为1，32.热点二三角形中有关量的最值或范围三角形中的最值、范围问题的解题策略(1)定基本量：根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围.(2)构建函数：根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式.(3)求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.例1考向1三角形面积的最值或范围(2024·郴州模拟)已知向量a＝...