§6.4数列中的构造问题[培优课]第六章数列数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式.例1(1)列数{an}足满an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于A.22023－1B.42023－1C.22023＋1D.42023＋1题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)√ an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1首，为项4公比的等比列，为数则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知列数{an}的首项a1＝1，且1an＋1＝3an＋2，列则数{an}的通公式项为______________.an＝12·3n－1－1 1an＋1＝3an＋2，等式同加两边时1整理得1an＋1＋1＝31an＋1，又 a1＝1，∴1a1＋1＝2，∴1an＋1是首项为2，公比为3的等比列数.∴1an＋1＝2·3n－1，∴an＝12·3n－1－1.例2已知列数{an}足满an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通公式项.命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)∴an＋1－n＋1an－n＝2， an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴列数{an－n}是以a1－1＝2首，为项2公比的等比列，为数∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.例3(1)已知列数{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.列则数{an}的通公式项为A.an＝(2n＋1)·3nB.an＝(n－1)·2nC.an＝(2n－1)·3nD.an＝(n＋1)·2n命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)√由an＋1＝3an＋2·3n＋1得an＋13n＋1＝an3n＋2·3n＋13n＋1，∴an＋13n＋1－an3n＝2，即列数an3n是首项为1，公差为2的等差列，数∴an3n＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在列数{an}中，a1＝1，且足满an＋1＝6an＋3n，则an＝________.6n3－3n－1令bn＝an3n，则bn＋1＝2bn＋13，利用命点题1的方法知bn＝2n3－13，则an＝6n3－3n－1.已知将an＋1＝6an＋3n的同乘两边13n＋1，得an＋13n＋1＝2·an3n＋13，思维升华思维升华形式造方法构an＋1＝pan＋q引入参数c，造新的等比列构数{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，造新的等比列构数{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn同除以两边qn＋1，造新的列构数anqn跟踪训练1(1)在列数{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.列则数{an}的通公式项an等于A.n·2n－1B.n·2nC.(n－1)·2nD.(n＋1)·2n√由an＋1＝2an＋2n得an＋12n＝an2n－1＋1，又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差列数.∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.设bn＝an2n－1，则bn＋1＝bn＋1，(2)(2023·山模黄拟)已知列数{an}足满a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设的前n和项为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为A.22023－2B.22023－1C.2D.1√1an(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝anan＋2，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.即1an＋1＝2an＋1，得1an＋1＋1＝21an＋1，故1an＋1是以2首，为项2公比的等比列，为数1an＋1＝2n，1an＝2n－1，an＝12n－1，原等式比得，与较x＝y＝1，所以an＋1＋n＋1＋1an＋n＋1＝2，令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，(3)已知列数{an}足满an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝____________.2n＋1－n－1所以列数{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4首，为项2公比的等为比列，数所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.例4(1)已知列数{an}足：满a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于A.47B.48C.49D.410题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)√由意得题a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即an＋an－1an－1＋an－2＝4(n≥3)，所以列数{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比列，数所以a9＋a10＝49.(2)已知列数{an}足满a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*).列则数{an}的通公式项为an＝___________.3n－－1n4所以bnbn－1＝an＋1＋anan＋an－1＝3an＋an－1an＋an－1＝3，方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是...