板块二三角函数与平面向量微专题16平面向量的基本运算及应用高考定位1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.【真题体验】√1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→＝A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n因为BD＝2DA，所以AB→＝3AD→，所以CB→＝CA→＋AB→＝CA→＋3AD→＝CA→＋3(CD→－CA→)＝－2CA→＋3CD→＝－2m＋3n.故选B.2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝A.－2B.－1C.1D.2√法一因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.法二因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.√3.(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3，1)，b＝(2，2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝A.117B.1717C.55D.255由题意知a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cos〈a＋b，a－b〉＝（a＋b）·（a－b）|a＋b||a－b|＝5×1＋3×（－1）34×2＝2217＝1717，故选B.√由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝A.12B.22C.32D.1解得|b|2＝12，所以|b|＝22，故选B.精准强化练热点一平面向量的线性运算热点二平面向量的数量积热点三平面向量的综合应用热点突破热点一平面向量的线性运算1.平面向量加减运算求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.例1√(1)(2024·西安模拟)已知点P是△ABC的重心，则AP→＝A.AP→＝16AB→＋16AC→B.AP→＝14AB→＋14AC→C.AP→＝23AC→＋13BC→D.AP→＝23AC→－13BC→延长AP与BC交于D点，由重心的性质，知D为BC的中点，且AP→＝23AD→＝23×12(AB→＋AC→)＝13(2AB→＋BC→)＝23AB→＋13BC→＝23(AC→＋CB→)＋13BC→＝23AC→－13BC→，由此可知A，B，C错误，D正确，故选D.(2)(2024·保定模拟)如图所示，△ABC内有一点G满足GA→＋GB→＋GC→＝0，过点G作一直线分别交AB，AC于点D，E.若AD→＝xAB→，AE→＝yAC→(xy≠0)，则1x＋1y＝A.4B.3C.2D.1√因为GA→＋GB→＋GC→＝0，所以G为△ABC的重心，又因为G，D，E三点共线，所以AG→＝13(AB→＋AC→)＝tAD→＋(1－t)AE→＝txAB→＋(1－t)yAC→，所以tx＝13且(1－t)y＝13，所以1x＋1y＝3，故选B.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.易错提醒训练1√(1)(2024·厦门调研)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD→＝λAC→＋μAE→，则λ－μ的值为A.3B.2C.1D.－3因为E是DC的中点，所以AE→＝12(AC→＋AD→)，即AD→＝－AC→＋2AE→，所以λ＝－1，μ＝2，则λ－μ＝－1－2＝－3.√(2)(2024·太原模拟)已知在矩形ABCD中，E为AB边的中点，线段AC和DE交于点F，则BF→＝A.－13AB→＋23AD→B.13AB→－23AD→C.23AB→－13AD→D.－23AB→＋13AD→如图，在矩形ABCD中，AE→＝EB→，所以△DFC∽△EFA，则CFFA＝CDAE＝2，所以CF→＝2FA→，即CF→＝23CA→，所以BF→＝BA→＋AF→＝－AB→＋13(AB→＋AD→)＝－23AB→＋13AD→.故选D.热点二平面向量的数量积1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.例2√(1)(2024·惠州模拟)已知非零向量a，b满足(a＋2b)⊥(a－2b)，且向量b在向量a上的投影向量是14a，则向量a与b的...