板块二三角函数与平面向量微专题17与平面向量有关的最值、范围问题高考定位1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档；2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围．【真题体验】√1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP→＝λAB→＋μAD→，则λ＋μ的最大值为A.3B.22C.5D.2如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线BD的方程为y＝－2x＋2，⊙C方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，又AB→＝(1，0)，AD→＝(0，2)，则AP→＝λAB→＋μAD→＝(λ，2μ)，又圆与直线BD相切，则半径r＝25.因为P点坐标可表示为x＝1＋rcosθ＝λ，y＝2＋rsinθ＝2μ，则λ＋μ＝2＋r2sinθ＋rcosθ＝2＋5r2sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝1时，有最大值，为2＋52×25＝3.√2.(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝2，则PA→·PD→的最大值为A.1＋22B.1＋222C.1＋2D.2＋2连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝2，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝π4.设直线OP绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则－π4＜θ＜π4，∠APD＝π4＋θ，且|PD|＝2cosθ.所以PA→·PD→＝|PA→||PD→|cos(π4＋θ)＝2cosθ·cos(π4＋θ)＝2cosθ(22cosθ－22sinθ)＝cos2θ－sinθcosθ＝12＋12cos2θ－12sin2θ＝12＋22cos(2θ＋π4)≤12＋22，故选A.3.(2024·天津卷)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝12DE，BE→＝λBA→＋μBC→，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF→·DG→的最小值为________.43－518以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E23，1，所以BE→＝－13，1，BA→＝(－1，0)，BC→＝(0，1)，因为BE→＝λBA→＋μBC→，所以－13，1＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝13，μ＝1，所以λ＋μ＝43.由B(1，0)，E23，1可得直线BE的方程为y＝－3(x－1)，设F(a，3－3a)23≤a≤1，则Ga2，3－3a2，所以AF→＝(a，3－3a)，DG→＝a2，1－3a2，所以AF→·DG→＝a·a2＋(3－3a)·1－3a2＝5a2－6a＋32＝5a－352－310，所以当a＝23时，AF→·DG→取得最小值，为－518.以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，4.(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则PA→21＋PA→22＋…＋PA→28的取值范围是_______________.[12＋22，16]则A1(0，1)，A222，22，A3(1，0)，A422，－22，A5(0，－1)，A6－22，－22，A7(－1，0)，A8－22，22，设P(x，y)，于是PA→21＋PA→22＋…＋PA→28＝8(x2＋y2)＋8，因为cos22.5°≤|OP|≤1，所以1＋cos45°2≤x2＋y2≤1，故PA→21＋PA→22＋…＋PA→28的取值范围是[12＋22，16].精准强化练热点一向量模的最值、范围热点二向量数量积的最值、范围热点三向量夹角的最值、范围热点突破热点四向量系数的最值、范围热点一向量模的最值、范围向量的模指的是有向线段的长度，可以利用坐标表示，也可以借助“形”，结合平面几何知识求解.如果直接求模不易，可以将向量用基底向量表示再求.例1√(1)已知单位向量a，b满足|a－b|＋23a·b＝0，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为A.23B.32C.223D.22由|a－b|＋23a·b＝0，得|a－b|＝－23a·b，两边平方，得a2－2a·b＋b2＝12(a·b)2，即6(a·b)2＋a·b－1＝0，解得a·b＝－12或a·b＝13.因为|a－b|＝－23a·b≥0，所以a·b≤0，所以a·b＝－12，所以|ta＋b|＝|ta＋b|2＝t2＋1＋2ta·b＝t2－t＋1＝t－122＋34≥32，t＝12时，表达式取得最小值.√(2)(2024·长沙质检)已知a，b，c都是平面向量，且|a|＝|4a－b|＝1，若〈a，c〉＝π6，则|b－c|的最小值为A.1B.3C.2D.3依题意可设a＝OA→＝(1，0)，...
