板块三数列提优点7衍生数列问题知识拓展衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生数列的特征，以此来解决问题.精准强化练类型一数列中的去项问题类型二数列中的公共项问题类型三数列中的并项问题类型突破类型四数列中的插项问题例1类型一数列中的去项问题(2024·汕头模拟)已知数列{an}的前n项和是Sn，a1＝1，点n，Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上，数列{an}，{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2＋(n－1)·2n＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 点n，Snn(n∈N*)在斜率为12的直线上，∴Snn－Sn－1n－1＝12(n≥2，n∈N*)，又S11＝a1＝1，∴数列Snn是以1为首项，12为公差的等差数列，∴Snn＝n＋12，∴Sn＝n2＋n2(n∈N*).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n，当n＝1时，a1＝1满足上式，∴an＝n(n∈N*). 数列{an}，{bn}满足a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2＋(n－1)·2n＋1，∴当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2＋(n－2)·2n，两式相减，得anbn＝n·2n(n≥2)，当n＝1时，a1b1＝2＋(1－1)×21＋1＝2＝1×21，满足上式，∴anbn＝n·2n(n∈N*).∴b＝2n(n∈N*).(2)若数列{an}中去掉和数列{bn}中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，且数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.设数列{an}的前p项中有数列{bn}的q项，p－q＝100，则2q≤p，即2q≤100＋q.易得满足2q≤100＋q的最大正整数q为6，∴数列{cn}的前100项，由数列{an}中的前106项去掉和数列{bn}中相同的6项得到，∴T100＝S106－(2＋22＋…＋26)＝（1＋106）×1062－2×（1－26）1－2＝5545.解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数，或求和时不会采取原数列和减去去掉各项和的方法.易错提醒训练1已知正项数列{an}和{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足4Sn＝a2n＋2an，an＝2log2bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；因为4Sn＝a2n＋2an，所以n≥2时，4Sn－1＝a2n－1＋2an－1，两式相减得4an＝a2n－a2n－1＋2an－2an－1，(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，因为an>0，所以an－an－1＝2，又4a1＝a21＋2a1，a1>0，所以a1＝2，所以an＝2＋2(n－1)＝2n，2n＝2log2bn，bn＝2n.(2)将数列{an}中与数列{bn}中相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Tn，求T100.根据(1)的结论，数列{bn}的前8项依次为：2，4，8，16，32，64，128，256对应数列{an}的第1，2，4，8，16，32，64，128项，故数列{cn}的前100项为数列{an}的前107项，剔除数列{bn}的前7项的数列.所以T100＝(a1＋a2＋…＋a107)－(b1＋b2＋…＋b7)＝107×（2＋214）2－2（1－27）1－2＝11302.例2类型二数列中的公共项问题(2024·西安调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋n2，{bn}为等比数列，公比为2，且b1，b2＋1，b3为等差数列.(1)求{an}与{bn}的通项公式；由Sn＝3n2＋n2，当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n－1.依题意，b1＋b3＝2(b2＋1)，b1＋b1·22＝2(b1·2＋1)，解得b1＝2，所以bn＝2n.(2)把数列{an}和{bn}的公共项由小到大排成的数列记为{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn.数列{an}和{bn}的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以cn＝2×4n－1，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝2（1－4n）1－4＝23(4n－1).两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数；等差数列与等比数列的公共项所构成的新数列，一般仍为等比数列.规律方法训练2数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足bn＝an2n，则数列{bn}的最大项等于________.74数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列为1，7，13，…，该数列是首项为1，公差为6的等差数列，所以an＝6n－5，所以bn＝6n－52n，因为bn＋1－bn＝6n＋12n＋1－6n－52n＝11－6n2n＋1，所以当n≥2时，bn＋1...