板块三数列微专题19数列的递推关系高考定位数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列求解，体现了化归思想在数列中的应用.【真题体验】√1.(2021·浙江卷)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1＋an(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则A.32<S100<3B.3<S100<4C.4<S100<92D.92<S100<5因为a1＝1，an＋1＝an1＋an，所以an>0，a2＝12，所以S100>a1＋a2＝32.又1an＋1＝1＋anan＝1an＋1an＝1an＋122－14，所以1an＋1<1an＋122，即有1an＋1<1an＋12，即1an＋1－1an<12，由1a1＝1，1a2－1a1<12，…，1an－1an－1<12，由累加法可得1an≤1＋n－12＝n＋12，所以an≥2n＋1，所以an＋1＝an1＋an≤an1＋2n＋1＝n＋1n＋3an，即an＋1an≤n＋1n＋3，可得anan－1≤nn＋2，…，a2a1≤24，由累乘法可得an≤6（n＋2）（n＋1）＝6(1n＋1－1n＋2)(当且仅当n＝1时取等号)，所以S100<6(12－13＋13－14＋14－15＋…＋1101－1102)＝6(12－1102)<3，故选A.2.(2019·上海卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝______.3116n＝1时，S1＋a1＝2，∴a1＝1.n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，两式相减得an＝12an－1(n≥2)，∴{an}是以1为首项，12为公比的等比数列，∴S5＝1×1－1251－12＝3116.3.(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________.7因为an＋2＋(－1)nan＝3n－1，所以当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1，所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92.因为数列{an}的前16项和为540，所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.①因为当n为奇数时，an＋2－an＝3n－1，可得an－an－2＝3(n－2)－1，…，a3－a1＝3×1－1，累加可得an－a1＝31＋3＋…＋（n－2）－n－12＝（n－1）（3n－5）4，即an＝（n－1）（3n－5）4＋a1，所以a1＋a3＋…＋a15＝8a1＋14(0＋8＋40＋96＋176＋280＋408＋560)＝448，即8a1＝56，所以a1＝7.①③④4.(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…).给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于1100的项，其中所有正确结论的序号是________.由题意可知，∀n∈N*，an>0，当n＝1时，a21＝9，可得a1＝3；当n≥2时，由Sn＝9an，可得Sn－1＝9an－1，两式作差可得an＝9an－9an－1，所以9an－1＝9an－an，则9a2－a2＝3，整理可得a22＋3a2－9＝0.因为a2>0，所以解得a2＝35－32<3，①正确；假设数列{an}为等比数列，设其公比为q，则a22＝a1a3，即9S22＝81S1S3，所以S22＝S1S3，可得a21(1＋q)2＝a21(1＋q＋q2)，解得q＝0，不合题意，故数列{an}不是等比数列，②错误；当n≥2时，an＝9an－9an－1＝9（an－1－an）anan－1>0，可得an<an－1，所以数列{an}为递减数列，③正确；对于④，假设{an}中每一项均大于或等于1100，当n取值变大时，Sn也逐渐增大，当n>90000时，Sn>900，又an≥1100，所以an·Sn>1100×900＝9，与an·Sn＝9矛盾，故④正确.精准强化练热点一形如an＋1＝pan＋f(n)型热点二形如an＋1＝pan＋qan－1(a1＝a，a2＝b)型热点突破热点三形如an＋1＝panran＋s型热点四形如an＋1＝paqn(p>0，an>0)型热点一形如an＋1＝pan＋f(n)型考向1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则数列{an}的通项公式为____________.例1an＝3n＋2法一(构造法)由an＋1＝3an－4，设an＋1－λ＝3(an－λ)，即an＋1＝3an－2λ，故2λ＝4，λ＝2，则an＋1－2＝3(an－2)，又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.法二(不动点法)令3x－4＝x，解得不动点x＝2，由an＋1＝3an－4，得an＋1－2＝3(an－2)所以数列{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，即an＝3n＋2.已知数列{an}...