板块三数列微专题22数列中的最值、范围问题高考定位近几年高考试题中，与数列有关的最值范围问题既有解答题，也有选择、填空题，难度中档或偏上.【真题体验】1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0，公比q>1，记In＝{x－y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an＋1]}，若对任意正整数n，In是闭区间，则q的取值范围是___________.[2，＋∞)显然等比数列{an}递增，不妨设x≥y，若x，y∈[a1，a2]，则x－y∈[0，a2－a1]，若x，y∈[an，an＋1]，则x－y∈[0，an＋1－an]，若x∈[an，an＋1]，y∈[a1，a2]，则x－y∈[an－a2，an＋1－a1]， 对任意正整数n，In都是闭区间，∴an－a2≤an＋1－an，如图，又a1>0，∴qn－2qn－1＋q≥0，即qn－2(q－2)＋1≥0，对任意正整数n，上式都成立，则必有q≥2.2.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－94，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；因为4Sn＋1＝3Sn－9，所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9，两式相减可得4an＋1＝3an，即an＋1an＝34.当n＝1时，4S2＝4－94＋a2＝－274－9，解得a2＝－2716，所以a2a1＝34.所以数列{an}是首项为－94，公比为34的等比数列，所以an＝－94×34n－1＝－3n＋14n.(2)设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.因为3bn＋(n－4)an＝0，所以bn＝(n－4)·34n.所以Tn＝－3×34－2×342－1×343＋0×344＋…＋(n－4)·34n，①所以34Tn＝－3×342－2×343－1×344＋0×345＋…＋(n－5)·34n＋(n－4)·34n＋1，②①－②得14Tn＝－3×34＋342＋343＋…＋34n－(n－4)·34n＋1＝－94＋9161－34n－11－34－(n－4)·34n＋1＝－n·34n＋1，所以Tn＝－4n·34n＋1.因为Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，所以－4n·34n＋1≤λ(n－4)·34n恒成立，所以(λ＋3)n－4λ≥0.记f(n)＝(λ＋3)n－4λ(n∈N*)，所以λ＋3≥0，f（1）≥0，解得－3≤λ≤1.所以λ的取值范围是[－3，1].精准强化练点一求列和式的最、范热数值围热点二求n的最值或范围热点三求数列不等式中参数的取值范围热点突破热点一求数列和式的最值、范围求数列和式最值、范围的基本方法(1)利用不等式组Sn≥Sn＋1，Sn≥Sn－1(n≥2)确定和式的最大值；利用不等式组Sn≤Sn＋1，Sn≤Sn－1(n≥2)确定和式的最小值.(2)利用和式的单调性.(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.例1设数列{an}的前n项积为Tn，满足TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1(n∈N*，n≥2)，且an≠0，a1＝23.(1)求数列{an}的通项公式an；由TnTn－1＋2Tn＝2Tn－1，得1Tn－1Tn－1＝12.又1T1＝1a1＝32，所以1Tn＝32＋12(n－1)＝n＋22，所以Tn＝2n＋2，所以an＝TnTn－1＝n＋1n＋2(n≥2)，因为n＝1，a1＝23符合上式，所以an＝n＋1n＋2.(2)若数列{bn}满足bn＝an＋1an，求数列{bn}的前n项和Sn的最值.由(1)知，an＝n＋1n＋2，所以bn＝an＋1an＝n＋1n＋2＋n＋2n＋1＝1n＋1－1n＋2＋2.所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝12－13＋2＋13－14＋2＋…＋1n＋1－1n＋2＋2＝12－1n＋2＋2n，显然Sn＝12－1n＋2＋2n在n∈N*上单调递增，所以当n＝1时，Sn的最小值是136，无最大值.利用数列和式的单调性求其最值.要首先判断其单调性，且注意数列中的n≥1且n∈N.易错提醒训练1(2024·成都诊断)已知数列{an}是首项等于116的等比数列，公比q∈N*，Sn是它的前n项和，满足S4＝5S2.(1)求数列{an}的通项公式；公比q∈N*， S4＝5S2，q≠1，∴a1（1－q4）1－q＝5a1（1－q2）1－q，解得q＝2.∴an＝116×2n－1＝2n－5.(2)设bn＝logaan(a>0且a≠1)，求数列{bn}的前n项和Tn的最值.bn＝logaan＝(n－5)log...