小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点09函数的对称性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．【知识点】1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．【核心题型】题型一轴对称问题函数y＝f(x)的象于直图关线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)足满f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的象于直图关线x＝成．轴对称【例题1】（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意判断的图象关于直线对称，结合当时的函数解析式，判断其单调性，即可判断在直线两侧的增减，从而结合，可得，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com化简，即得答案.【详解】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，当时，，因为在上单调递增且，而在上单调递减，故在上单调递减，则在上单调递增，故由可得，即，则，故，故选：A【式变1】（2024·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】首先得到是以为周期的周期函数，关于对称，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得.【详解】因为定义域为的函数满足，即，所以是以为周期的周期函数，又，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以关于对称，又，又，又当时，函数，所以，则，令，即，在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：由图可得与有个交点，交点横坐标分别为，且与关于对称，与关于对称，所以，，所以方程的所有实数根之和为.故选：D【式变2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数，公差不为0的等差数列的前项和为.若，则（）A．1012B．2024C．3036D．4048【答案】B【分析】先根据题中条件得到，故，结合等差数列的前项和公小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com式可得.【详解】由题可知函数的图象关于直线对称，因为的公差不为0，所以又因，所以，所以，故，故选：B【式变3】（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（）A．0B．C．2D．【答案】C【分析】根据的性质结合导数运算分析可知的图象关于对称，结合奇函数分析可知的周期为4，根据周期性运算求解.【详解】因为为奇函数，则，即，可知的图象关于点对称，可得，即，可知的图象关于对称，则，又因为为奇函数，则，可得，可知的周期为4，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以.故选：C．题型二中心对称问题函数y＝f(x)的象于点图关(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)足满f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的象于点成中心．图关对称【例题2】（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.【详解】由为奇函数，得，得的图象关于点对称，所以.又因为是定义域为的偶函数，所以，，所以的周期为4，所以.故选：A.【式变1】（2024·全国·模拟预测）定义在上的偶函数满足，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com（）A．B．C．D．是奇函数【答案】C【分析】根据题中条件，可知，故A、B错误；对于C，令，可得...