小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点21利用导数研究函数的零点（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现【核心题型】题型一利用函数性质研究函数的零点利用函性究函的零点，主要是根据函性、奇偶性、最或的符确定数质研数数单调值极值号函零点的，此在求解程中可以通形合的方法确定函存在零点的数个数类问题过过数结数条件．【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点，因为，当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．故选：D【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可.【详解】不等式移项可得，设，则，设，则恒成立，所以函数在上单调递减，因为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，使得，①所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；，代入①可得，所以，所以实数的取值范围为，故答案为：.【点睛】方法点睛：（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)设，若存在两个不同的零点，，且.（i）证明：；（ii）证明：.【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）先确定定义域，求出导函数并进行通分和因式分解后根据开口方向、根的大小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com小关系、根与定义域的位置关系等信息进行分类讨论得出导数正负情况，从而得出函数的单调性.（2）考查用导数研究函数零点问题，（i）用导数研究函数的单调性和最值情况，确保函数零点个数为2即可证明；（ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.【详解】（1）由题的定义域为，，①若，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.②若，令，得，.当时，，当或时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；当时，，当或时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减；当时，，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增.（2）（i）由题意知，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，因为函数存在两个不同的零点，故，即.（ii）下面找出两个点，，使得，,注意到，且，于是考虑找点，，下面我们证明：，，①，设，下证，方法1：设，则，故，所以在上单调递增，得，所以在上单调递增，故，即，因此，设，则，所以在上单调递增，所以，因此，又，故，即，又，所以.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com方法2：易知，设，则，所以在上单调递增，得，所以在上单调...