小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com考点32平面向量的数量积（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题【知识点】1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量a向向量b，A1B1叫做向量a在向量b上的．记为.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝．(3)(a＋b)·c＝.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夹角cosθ＝_____cosθ＝___________a⊥b的充要条件a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.【核心题型】题型一平面向量数量积的基本运算算平面向量量的主要方法计数积(1)利用定：义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐算，若标运a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求量．数积(4)活用平面向量量的几何意灵运数积义【例题1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形中，，则的值为（）A．B．C．D．【变式1】（2024·浙江金华·三模）已知，，，则（）A．B．16C．D．9【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量的夹角为，若，则.【变式3】（2024·辽宁丹东·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com面积为S，且．(1)求C；(2)若，，求S．题型二平面向量数量积的应用(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意．义(2)求平面向量的角的方法夹①定法：义cosθ＝；②坐法．标(3)向量垂直的充要件两个条a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)命题点1向量的模【例题2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A．B．C．1D．13【变式1】（2024·河北·三模）已知非零向量，的夹角为，，，则（）A．1B．C．D．【变式2】（2024·河南·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，，若为中点，则．【变式3】（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．(1)求；(2)若面积为，求边上中线的长．命题点2向量的夹角【例题3】（2024·北京·三模）若，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【变式1】（2024·江苏南通·三模）已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【变式2】（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为．【变式3】（2024·江西·模拟预测）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，且，.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(1)求证：；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.命题点3向量的垂直【例题4】（2024·江苏连云港·模拟预测）若向量，满足，，且，则（...