小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【核心题型】题型一平面向量在几何中的应用用向量方法解平面几何的步决问题骤平面几何问题――→向量问题――→解向量决问题――→解几何．决问题【例题1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求.【详解】因为，所以，易知，结合图形，，，则，故.所以在直角三角形中可得，故.故选：小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【变式1】（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，，所对的边分别为，，，，为上一点，，，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据向量的基本定理得，同时平方化简得，再由余弦定理得，两式联立化简可得，由三角形面积公式计算即可.【详解】如图所示，在中，由，得．又，即，所以，化简得．①在中，由余弦定理得，，②由①②式，解得．由，得，将其代入②式，得，解得，故的面积．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故选：D【变式2】（2023·天津南开·一模）在平面四边形中，，则；.【答案】【分析】根据求出B的大小，从而可判断△ABC的形状，从而求出；再求出，从而求出∠ACD的大小，再根据即可求出．【详解】 ，又，故， ，故，∴为等边三角形，则； ，∴，又，∴，得，∴，根据以上分析作图如下：则∠BCD=150°，则小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com．故答案为：1；【变式3】（2024·河北张家口·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若为内角A的平分线，且，求．【答案】(1)证明见详解；(2).【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可；（2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得.【详解】（1）记的中点为，则，因为，所以，所以为的垂直平分线，所以.（2）记，因为，所以，所以，，又为内角A的平分线，所以，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com在中，分别由余弦定理得：，联立可得，在中，由余弦定理得，所以.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题【例题2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值.【详解】在线段上，，，为线段的一个三等分点，，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由平面向量基本定理得，，，当时，取得最小值.故选：C.【变式1】（2023·山东泰安·模拟预测）已知，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用数量积定义可得的夹角为，不妨设，，即可得，再利用辅助角公式可得，即可求得其最小值.【详解】设的夹角为，，，，，，又，不妨设，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com，所以，即，，由，当时，即时，有最小值．故选：B【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知正方体的棱长为2，空间中点P满足，则三棱锥的体积的最大值为．【答案】【分析】方法一：根据题意建立合适的空间直角坐标系，设，根据得出点P的轨迹是球，然后得到点P到平面的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解．方法二：利用向量的几何运算得到，得到点P的轨迹是球，然后得到点P到平面的距离的最大值，从而根据三棱锥的体积公式求解．【详解】解法一根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以，由，得，故点P的轨迹是以（为正方体的中心...