小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录一、典型题型......................................................................................1题型一：插入新数列构成等差......................................................1题型二：插入新数列构成等比......................................................8题型三：插入新数混合................................................................11二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练...............15一、典型题型题型一：插入新数列构成等差1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)(3)小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；（2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得；（3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最小值，即可得解．【详解】（1）因为①，当时，，所以．当时，②，由①－②得，即，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．（2）因为，所以，解得，所以．所以，，两式相减得，所以．（3）由于对于任意，恒成立，即恒成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com等价于的最小值大于．令，则，所以数列是递减数列，故数列中的最大值为，所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，．2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；（2）利用等差数列的通项公式即可得解.【详解】（1）因为，当时，，所以，当时，，所以，整理得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为;（2）因为，由题意得：，即，所以.3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得；（2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差，求得并利用错位相减法即可求出；（ii）求得，易知对于任意正整数均有，而，所以不是数列中的项；又，分别对其取值为时解方程可求得.【详解】（1）由①，当时，②，得，当时，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上可得；（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，设公差为，则，则.⑤则⑥⑤-⑥得：，所以可得（ii）由（1），又，由已知，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com假设是数列或中的一项，不妨设，因为，所以，而，所以不可能是数列中的项.假设是中的项，则.当时，有，即，令，当时，；当时，，由知无解.当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项；又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项时，关键是限定出，再对数列的取值范围进行限定可...