小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com极化恒等式与等和线【知识拓展】1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：①PM·PN＝(|PQ|2－|NM|2)(平行四边形模式)；②PM·PN＝|PO|2－|NM|2(三角形模式).2.平面向量共线定理已知平面内一组基向量OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.3.平面向量等和线定理平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0.【类型突破】类型一利用极化恒等式求向量的数量积例1(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值为________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝4，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME·MF的最小值为________.训练1(1)已知正三角形ABC的边长为2，动点P满足|PC|＝1，则PA·PB的最小值为()A.4－2B.3－2C.3－2D.4－2(2)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.类型二利用等和线求基底系数和的值例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝()A.1B.C.D.(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.训练2在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.comμAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D.1【精准强化练】一、单选题1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.42.如图，在四边形MNPQ中，若NO＝OQ，|OM|＝6，|OP|＝10，MN·MQ＝－28，则NP·QP＝()A.64B.42C.36D.283.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ＝()A.1B.C.D.4.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE＝()A.－B.－C.－D.－5.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com点)上滑动，则OC·OB的最大值是()A.1B.2C.3D.4二、多选题6.在△ABC中，A＝30°，BC＝2，则AB·AC的值可能是()A.0B.2C.4D.137.(2024·武汉质检)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.由①－②得(a＋b)2－(a－b)2＝4a·b⇔a·b＝，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中，BD＝8，AB·AD＝48，E为BD中点，且EC＝2AE，则()A.AE＝8B.AE＝4C.CB·CD＝240D.CB·CD＝120三、填空题8.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com9.(2024·合肥调研)四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AB＝2，CD＝2，EF＝1，点P满足PA·PB＝0，则PC·PD的最大值为________.10.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设OP＝λOC＋μOD，则λ＋μ的取值范围为________.【解析版】类型一利用极化恒等式求向量的数...