小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com以高等数学知识为背景的导数问题高考定位1.导数解答题与高等数学知识交汇命题，考查考生的知识迁移能力、现场学习能力与现场运用能力，逐渐成为命题的热点，难度较大，一般作为压轴题出现；2.常见的高等数学知识除了前面学习过的泰勒公式与洛必达法则、还有拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理、伯努利不等式、微积分、帕德近似等.【题型突破】题型一拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、柯西中值定理例1(2024·宁模济拟)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若0<x1<x2，证明：对任意a∈(0，＋∞)，存在唯一的实数ξ∈(x1，x2)，使得f′(ξ)＝成立；(3)设an＝，n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn.证明：Sn>2ln(n＋1).训练1罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日中值定理、柯西中值定理.罗尔定理描述如下：如果R上的函数f(x)满足以下条件：①在闭区间[a，b]上连续，②在开区间(a，b)内可导，③f(a)＝f(b)，则至少存在一个ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝0.据此，解决以下问题：(1)证明方程4ax3＋3bx2＋2cx－(a＋b＋c)＝0在(0，1)内至少有一个实根，其中a，b，c∈R；(2)已知函数f(x)＝ex－ax2－(e－a－1)x－1，a∈R在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围.题型二帕德近似小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例2(2024·厦模门拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数f(x)在x＝0处的[m，n]阶帕德近似定义为：R(x)＝，且满足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f(2)(0)＝R(2)(0)，…，f(m＋n)(0)＝R(m＋n)(0).其中f(2)(x)＝[f′(x)]′，f(3)(x)＝[f(2)(x)]′，…，f(m＋n)(x)＝[f(m＋n－1)(x)]′.已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的[2，2]阶帕德近似为R(x)＝.(1)求实数a，b的值；(2)设h(x)＝f(x)－R(x)，证明：xh(x)≥0；(3)已知x1，x2，x3是方程lnx＝λ的三个不等实根，求实数λ的取值范围，并证明：>－1.训练2(2024·模菏泽拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x＝0处的[m，n]阶帕德近似定义为：R(x)＝，且满足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f″(0)＝R″(0)，…，f(m＋n)(0)＝R(m＋n)(0)(注：f″(x)＝[f′(x)]′，f(x)＝[f″(x)]′，…，f(n)(x)为f(n－1)(x)的导数).已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的[－1，1]阶帕德近似为R(x)＝.(1)求实数a，b的值；(2)比较f(x)与R(x)的大小；(3)若h(x)＝－f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求m的取值范围.题型三微积分、洛必达法则例3(2024·湖北二模)微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数g(x)＝(x>0)，g(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，从几何上看，定积分dx便是由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得dx＝lnb－lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com推导出不等式：>.(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：<；(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xlnx，其中a，b∈R.①证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y＝f(x)在(x1，f(x1))和(x2，f(x2))处的切线均不重合；②当b＝－1时，若不等式f(x)≥2sin(x－1)恒成立，求实数a的取值范围.训练3①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，且f(x)＝g(x)＝0，则＝.②设a>0，k是大于1的正整数，若函数f(x)满足：对任意x∈[0，a]，均有f(x)≥f成立，且f(x)＝0，则称函数f(x)为区间[0，a]上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断f(x)＝x3－3x是否为区间[0，3]上的2阶无穷递降函...