小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com隐零点问题【知识拓展】导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，利用整体代换思想，再结合题目条件解决问题.【类型突破】类型一不含参函数的隐零点问题例1(2024·沙长调研节选)已知函数f(x)＝xlnx－mx(m∈R).当x>1时，不等式f(x)＋lnx＋3>0恒成立，求整数m的最大值.训练1(2024·南模济拟)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，g(x)＝x(ex－x).(1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切，求实数a的值；(2)当a＝－1时，求证：f(x)≤g(x)＋x2.类型二含参函数的隐零点问题例2已知函数f(x)＝2exsinx－ax.若0<a<6，试讨论f(x)在(0，π)上的零点个数.(e≈4.8)训练2(2024·泉州调研节选)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－ax＋a.若x>1，f(x)>0恒成小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com立，求a的取值范围.【精准强化练】1.已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax的图象在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求证：f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－.2.(2024·包模头拟)已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)证明：当a>1时，f(x)没有零点.【解析版】类型一不含参函数的隐零点问题小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com例1(2024·沙长调研节选)已知函数f(x)＝xlnx－mx(m∈R).当x>1时，不等式f(x)＋lnx＋3>0恒成立，求整数m的最大值.解由意，知题xlnx－mx＋lnx＋3>0任意对x>1恒成立，可知m<lnx＋任意对x>1恒成立.函设数g(x)＝lnx＋(x>1)，只需m<g(x)min.函对数g(x)求，得导g′(x)＝＋＝.函设数h(x)＝x－lnx－2(x>1)，函对数h(x)求，得导h′(x)＝1－＝>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上增单调递.又h(3)＝1－ln3<0，h＝－ln>0，所以存在x0∈，使h(x0)＝0，即x0－lnx0－2＝0，所以当x∈(1，x0)，时h(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)；单调递减当x∈(x0，＋∞)，时h(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)增，单调递所以g(x)min＝g(x0)＝lnx0＋＝x0－2＋＝x0＋－1，所以m<x0＋－1.又x0∈，所以x0＋－1∈，所以整数m的最大值为2.规律方法已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的范围.训练1(2024·南模济拟)已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，g(x)＝x(ex－x).(1)若直线y＝2x与函数f(x)的图象相切，求实数a的值；(2)当a＝－1时，求证：f(x)≤g(x)＋x2.(1)解切点坐设标为(x0，f(x0))，由f′(x)＝－a，得f′(x0)＝－a，所以切方程线为y－(lnx0－ax0＋1)＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0.因直为线y＝2x函与数f(x)的象相切，图所以解得a＝－1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)证明当a＝－1，时f(x)＝lnx＋x＋1，令F(x)＝g(x)－f(x)＋x2＝xex－lnx－x－1(x>0)，则F′(x)＝(x＋1)ex－－1＝(xex－1)，令G(x)＝xex－1(x>0)，则G′(x)＝(x＋1)ex>0，所以函数G(x)在区间(0，＋∞)上增，单调递又G(0)＝－1<0，G(1)＝e－1>0，所以函数G(x)存在唯一的零点x0∈(0，1)，且当x∈(0，x0)，时G(x)<0，F′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)，时G(x)>0，F′(x)>0.所以函数F(x)在(0，x0)上，在单调递减(x0，＋∞)上增，单调递故F(x)min＝F(x0)＝x0ex0－lnx0－x0－1，由G(x0)＝0得x0ex0＝1，取得两边对数lnx0＋x0＝0，故F(x0)＝0，所以g(x)－f(x)＋x2≥0，即f(x)≤g(x)＋x2.类型二含参函数的隐零点问题例2已知函数f(x)＝2exsinx－ax.若0<a<6，试讨论f(x)在(0，π)上的零点个数.(e≈4.8)解 f(x)＝2exsinx－ax，∴f′(x)＝2ex(sinx＋cosx)－a，令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝4excosx.∴当x∈，时h′(x)>0；当x∈，时h′(x)<0，∴h(x)在上增，在上，单调递单调递减即f′(x)在上增，在上单调递单调递减.f′(0)＝2－a，f′＝2e－a>0，f′(π)＝－2eπ－a<0.①当2－a≥0，...