小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com极值点偏移【知识拓展】已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示；若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示.【类型突破】类型一对称化构造例1(2024·青岛质检节选)已知函数f(x)＝x2，若函数f(x)在x＝e处取得极值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，证明：2<x1＋x2.训练1已知函数f(x)＝ex－xlnx＋x2－ax.(1)证明：若a≤e＋1，则f(x)≥0；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com类型二比(差)值换元例2(2024·杭州调研节选)已知函数f(x)＝x(lnx－a)，g(x)＝＋a－ax.若g(x)的两个相异零点为x1，x2，求证：x1x2>e2.训练2(2024·南京模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax2＋ax＋1.(1)讨论f(x)的极值点个数.(2)若f(x)有两个不同的极值点x1，x2，证明：x1＋x2>4.【精准强化练】1.已知函数f(x)＝xlnx－x，两相异正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.2.(2024·贵阳监测)已知函数f(x)＝－m(a，m∈R)在x＝e时取得极值，且有两个零点x1，x2.(1)求实数a的值及实数m的取值范围；(2)证明：x1x2>e2.【解析版】小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示；若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示.【类型突破】类型一对称化构造例1(2024·青岛质检节选)已知函数f(x)＝x2，若函数f(x)在x＝e处取得极值，且f′(x1)＝f′(x2)，x1<x2，证明：2<x1＋x2.证明由f(x)＝x2，得f′(x)＝x(2lnx－2)＝2x(lnx－1).令g(x)＝2x(lnx－1)，则g′(x)＝2lnx，当x＝1，时g′(x)＝0，所以函数g(x)在(0，1)上，在单调递减(1，＋∞)上增，且单调递当x∈(0，e)，时g(x)＝2x(lnx－1)<0，当x∈(e，＋∞)，时g(x)＝2x(lnx－1)>0，故0<x1<1<x2<e.要证x1＋x2>2，只需证x2>2－x1，因为x1<1，所以2－x1>1，下面明证g(x1)＝g(x2)>g(2－x1).即证g(x1)>g(2－x1)，设t(x)＝g(2－x)－g(x)，x∈(0，1)，则t′(x)＝－g′(2－x)－g′(x)，t′(x)＝－2ln(2－x)－2lnx＝－2ln[(2－x)x]>0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com故t(x)在(0，1)上增，单调递故t(x)<t(1)＝g(1)－g(1)＝0，所以t(x1)＝g(2－x1)－g(x1)<0，则g(2－x1)<g(x2)，所以2－x1<x2，即得x1＋x2>2.规律方法对称化构造主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2>x，则令F(x)＝f(x)－f.(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系.(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.训练1已知函数f(x)＝ex－xlnx＋x2－ax.(1)证明：若a≤e＋1，则f(x)≥0；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2<1.证明(1)因为f(x)定域义为(0，＋∞)，所以f(x)≥0等价于－lnx＋x－a≥0.设g(x)＝－lnx＋x－a，则g′(x)＝，当0<x<1，时g′(x)<0；当x>1，时g′(x)>0，所在g(x)在(0，1)，单调递减g(x)在(1，＋∞)增，单调递故g(x)≥g(1)＝e＋1－a.因为a≤e＋1，所以g(x)≥0，于是f(x)≥0.(2)不妨设x1<x2，由(1)可知x1，x2也是g(x)的零点，且两个0<x1<1，x2>1，于是0<<1，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由于g(x)在(0，1)，故单调递减x1x2<1等价于g(x1)>g.而...