小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第21讲利用导数研究函数的极值和最值1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、【2022年全国甲卷】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f'(2)=¿（）A．−1B．−12C．12D．1【答案】B【解析】因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f(1)=−2，f'(1)=0，而f'(x)=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f'(x)=−2x+2x2，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f'(2)=−1+12=−12．故选：B.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com2、【2022年新高考1卷】（多选）已知函数f(x)=x3−x+1，则（）A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线【答案】AC【解析】由题，f'(x)=3x2−1，令f'(x)>0得x>❑√33或x<−❑√33，令f'(x)<0得−❑√33<x<❑√33，所以f(x)在(−❑√33,❑√33)上单调递减，在(−∞,−❑√33)，(❑√33,+∞)上单调递增，所以x=±❑√33是极值点，故A正确；因f(−❑√33)=1+2❑√39>0，f(❑√33)=1−2❑√39>0，f(−2)=−5<0，所以，函数f(x)在(−∞,−❑√33)上有一个零点，当x≥❑√33时，f(x)≥f(❑√33)>0，即函数f(x)在(❑√33,+∞)上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令ℎ(x)=x3−x，该函数的定义域为R，ℎ(−x)=(−x)3−(−x)=−x3+x=−ℎ(x)，则ℎ(x)是奇函数，(0,0)是ℎ(x)的对称中心，将ℎ(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令f'(x)=3x2−1=2，可得x=±1，又f(1)=f(−1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.3、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．【答案】(1e,1)【解析】解：f'(x)=2lna⋅ax−2ex，因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上递减，在(x1,x2)上递增，所以当x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时，f'(x)<0，当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0，若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点， 0<a<1,∴函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又 lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lna⋅ax0)，则切线的斜率为g'(x0)=ln2a⋅ax0，故切线方程为y−lna⋅ax0=ln2a⋅ax0(x−x0)，...
