小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com第22讲导数的综合应用1.利用导数证明不等式(1)构造法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，则只需F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．(2)最值比较法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)时，若构造函数F(x)＝f(x)－g(x)后，F(x)的单调性无法确定，可考虑f(x)的最大值与g(x)的最小值，如果f(x)max<g(x)min，那么可证f(x)<g(x)．2.利用导数解决不等式的恒成立(能成立)问题“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f(x)在x∈D上存在最大值和最小值时，若f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≤f(x)min；若f(x)≤g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≥f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最大值，将原条件转化为g(a)≤f(x)max；若存在x∈D，使得f(x)≤g(a)成立，应求f(x)在x∈D上的最小值，将原条件转化为g(a)≥f(x)min.3.利用导数研究函数零点(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)根据函数f(x)的性质作出图象；(3)判断函数零点的个数．1、【2022年全国乙卷】已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________．【答案】(1e,1)【解析】：f'(x)=2lna⋅ax−2ex，因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，所以函数f(x)在(−∞,x1)和(x2,+∞)上递减，在(x1,x2)上递增，所以当x∈(−∞,x1)∪(x2,+∞)时，f'(x)<0，当x∈(x1,x2)时，f'(x)>0，若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，故a>1不符合题意，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com若0<a<1时，则方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点， 0<a<1,∴函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又 lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,lna⋅ax0)，则切线的斜率为g'(x0)=ln2a⋅ax0，故切线方程为y−lna⋅ax0=ln2a⋅ax0(x−x0)，则有−lna⋅ax0=−x0ln2a⋅ax0，解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2a⋅a1lna=eln2a，因为函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2a<e，解得1e<a<e，又0<a<1，所以1e<a<1，综上所述，a的范围为(1e,1).2、【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=exx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=(1x−1x2)ex−1x+1¿1x(1−1x)ex+(1−1x)=x−1x(exx+1)令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f'(x)<0,f(x)单调递减当x∈(1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(−∞,e+1¿(2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x1<1<x2要证x1x2<1,即证x1<1x2因为x1,1x2∈(0,1),即证f(x1)>f(1x2)因为f(x1)=f(x2),即证f(x2)>f(1x2)即证exx−lnx+x−xe1x−lnx−1x>0,x∈(1,+∞)即证exx−xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0下面证明x>1时，exx−xe1x>0,lnx−12(x−1x)<0设g(x)=exx−xe1x,x>1，则g'(x)=(1x−1x2)ex−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)ex−e1x(1−1x)¿(1−1x)(exx−e1x)=x−1x(exx−e1x)设φ(x)=exx(x>1),φ'(x)=(1x−1x2)ex=x−1x2ex>0所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x<e所以exx−e1x>0,所以g'(x)>0所以g(x)在(1,+∞)单调递增即g(x)>g(1)=0,所以exx−xe1x>0令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1ℎ'(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2<0小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免...
