小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破09导数与三角函数1．已知函数，证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）函数，，，令，，，函数在上单调递减，又当时，，而，存在唯一，使得，当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，函数在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，是函数的极大值点，且，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com又当时，；，在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，当时，设，则，在上单调递减，，①当时，，当时，，无零点，②时，，又，当时，，无零点，当时，，函数在区间内无零点，函数有且仅有2个零点．2．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由于，所以，当，即时，；当，即时，．所以的单调递增区间为，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com单调递减区间为；（2）令，要使总成立，只需时，对求导，可得，令，则，所以在上为增函数，所以；对分类讨论：①当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；②当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com所以在上为减函数，则，不符合题意．综上，可得实数的取值范围是，．3．已知函数，其中，是自然对数的底数．（1）当时，证明：对，，；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．【解答】（1）证明：当时，，，当，时，，且，所以当，时，，且时，，函数在，上单调递增，，所以，对，，．（2）解：若函数在上存在极值，则在上存在零点．①当时，为上的增函数，，则存在唯一实数，使得成立，当时，，为上的减函数；小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当时，，为上的增函数，所以为函数的极小值点；②当时，在上恒成立，函数在上单调递增，在上无极值；③当时，在上恒成立，函数在上单调递減，在上无极值．综上知，使在上存在极值的的取值范围是．4．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）由于，所以，当，，即，，时，；当，，即，，时，．所以的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，；（2）令，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com要使总成立，只需，时，对求导，可得，令，则，所以在，上为减函数，所以，；对分类讨论：①当时，恒成立，所以在，上为增函数，所以，即，故成立；②当时，在上有实根，因为在，上为减函数，所以当，时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，所以在，上为减函数，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com则，由，可得，即有．综上，可得实数的取值范围是，．5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．（1）求函数的单调区间；（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【解答】解：（1）,令,即,解得：,令,即,解得：,故在,递增，在,递减．,故对于任意的，恒成立，等价于恒成立，即,令,则,小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com由（1）的结论知在,上为增函数，,,①当,即时，恒成立，故在,上递增，即,符合题意，②当即时，恒成立，故在,递减，即,不合题意，③当时，存在,使得,当时，,在递减，当,时，,在,递增，故,不合题意，综上：实数的取值范围是，．6．已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）的定义域为，，，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com令，则在恒成立，在上为减函数，又，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间...