小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com重难点突破04三次函数的图象和性质目录1、基本性质设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有：性质1：①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③单调性和图像：图像小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com性质2：三次方程的实根个数由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数其导函数为二次函数:，判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得：(1)若，则恰有一个实根；(2)若,且，则恰有一个实根；(3)若,且，则有两个不相等的实根；(4)若,且，则有三个不相等的实根.说明:(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）;(5)有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且;(6)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.性质3：对称性（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；；（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2、常用技巧（1）其导函数为对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（2）是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.（3）若图象关于直线对称，则图象关于点对称.（4）已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com题型一：三次函数的零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，则，若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，令，解得或，且当时，，当，，故的极大值为，极小值为，若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.例2．（2023·江苏扬州·高三校考阶段练习）设为实数，函数．（1）求的极值；（2）是否存在实数，使得方程恰好有两个实数根?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1），令，得或． 当时，；当时，；当时，．所以在上递减，在上递增，在上递减，的极小值为，极大值为．（2）由（1）知，在上递减，在上递增，在上递减，而，即函数的极大值大于极小值．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线与轴恰好有两个交点，即方程恰好有两个实数根，如图1所示．，即．当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线与轴恰有两个交点，即方程恰好有两个实数根，如图2所示．，即．综上所述，当或时，方程恰好有两个实数根．例3．（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数，且在和处取得极值.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若有且仅有一个零点，求实数的取值范围.【解析】（1），因为在和处取得极值，所以和是方程＝0的两个根，则，解得，经检验符合已知条件，所以；（2）由题意知，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com当或时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，又取足够大的正数时，，取足够小的负数时，，因此，为使曲线与轴有一个交点，结合的单调性，得：或，∴或，即当或时，使得曲线与轴有一个交点.变式1．（2023·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知，.（1）当，求的极值；（2）当，，设，求不等式的解集；（3）当时，若函数恰有两个零点，求的值.【解析】（1），∴，，.0+0-0+-4∴在时，取极大值.在时，取极小值-4.（2），即，设，，单调增函数，且，∴不等式的解集为.（3），，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com.，单调递增，单调递减，单调递增，而，所以至多一个零点，（舍去）..，单调增，所以至多一个...