小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题24长度和距离型取值范围模型【例题选讲】[例1]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D．(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．[规范解答](1)由题意知F，|FA|＝3＋，则D(3＋p，0)，FD的中点坐标为，则＋＝3，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x．(2)依题意可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，－y2)，由消去x，得y2－4my－4x0＝0，x0≥．所以Δ＝16m2＋16x0>0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0，设P的坐标为(xP，0)，则PE＝(x2－xP，－y2)，PA＝(x1－xP，y1)，由题意知PE∥PA，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，即x2y1＋y2x1＝＝＝(y1＋y2)xP，显然y1＋y2＝4m≠0，所以xP＝＝－x0，即证P(－x0，0)，由题意知△EPB为等腰直角三角形，所以kAP＝1，即＝1，也即＝1，所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16，即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x0<1，又因为x0≥，所以≤x0<1，d＝＝＝，令＝t∈，x0＝2－t2，d＝＝－2t，易知f(t)＝－2t在上是减函数，所以d∈．所以d的取值范围是．[例2]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点过M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝．(1)求椭圆C的方程；(2)若λ∈，求弦长|AB|的取值范围．[规范解答](1)由已知e＝，得＝，又当直线垂直于x轴时，|AB|＝，所以椭圆过点，代入椭圆方程得＋＝1， a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1．小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com(2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点，λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合题意．∴直线的斜率不能为0．设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根与系数的关系可得，将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ，∴－λ－＋2＝－，又知λ∈，∴－λ－＋2∈，∴－≤－≤0，解得m2∈．|AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82， m2∈，∴∈，∴|AB|∈．[例3]设点F为椭圆C：＋＝1(m＞0)的左焦点，直线y＝x被椭圆C截得弦长为．(1)求椭圆C的方程；(2)圆P：＋＝r2(r＞0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|·|QF|的取值范围．[规范解答](1)由得x2＝y2＝，故2＝2＝，解得m＝1，故椭圆C的方程为＋＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又所以＋＝0．则(x1－x2)－(y1－y2)＝0，故kAB＝＝1，则直线AB的方程为y－＝x＋，即y＝x＋，代入椭圆C的方程并整理得7x2＋8x＝0，则x1＝0，x2＝－，故直线FM的斜率k∈[，＋∞)，设FM：y＝k(x＋1)，由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有x3＋x4＝，x3x4＝，又|PF|＝|x3＋1|，|QF|＝|x4＋1|，所以|PF|·|QF|＝(1＋k2)|x3x4＋(x3＋x4)＋1|＝(1＋k2)＝(1＋k2)×＝，因为k≥，所以＜≤，即|PF|·|QF|的取值范围是．[例4]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，且点椭圆经过(0，1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l1：x＋2y－2＝0与圆D：x2＋y2－6x－4y＋m＝0相切：(ⅰ)求圆D的标准方程；(ⅱ)若直线l2过定点(3，0)，与椭圆C交于不同的两点E，F，与圆D交于不同的两点M，N，求|EF|·|MN|的取值范围．[规范解答](1) 椭圆经过点(0，1)，∴＝1，解得b2＝1， e＝，∴＝，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴3a2＝4c2＝4(a2－1)，解得a2＝4，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．(2)(ⅰ)圆D的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13－m，圆心为(3，2)， 直线l1：x＋2y－2＝0与圆D相切，∴圆D的半径r＝＝，∴圆D的标准方程为(x－3)2＋(y...