小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x＋C．y＝x＋1D．y＝x＋答案D解析易知直线l的斜率存在，设直线l的方程y＝kx＋b，则＝①．设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0>0)，则y′|x＝x0＝x0－＝k②，＝kx0＋b③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x0－代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程y＝x＋．(2)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为．答案y＝ex或y＝x＋1解析设l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，则y1＝，f′(x)＝ex，∴f′(x1)＝，∴切点为(x1，)，切斜率线k＝，∴切方程线为y－＝(x－x1)，即y＝·x－＋，①，同理设l与g(x)＝lnx＋2的切点为(x2，y2)，∴y2＝lnx2＋2，g′(x)＝，∴g′(x2)＝，切点为(x2，lnx2＋2)，切斜率线k＝，∴切方程线为y－(lnx2＋2)＝(x－x2)，即y＝·x＋lnx2＋1，②，由意知，题①与②相同，∴把③代入④有－＋＝－x1＋1，即(1－x1)(－1)＝0，解得x1＝1或x1＝0，当x1＝1，切方程时线为y＝ex；当x1＝0，切方程时线为y＝x＋1，上，直综线l的方程为y＝ex或y＝x＋1．(3)曲线C1：y＝lnx＋x与曲线C2：y＝x2有________条公切线．答案1解析由y＝lnx＋x得y′＝＋1，设点(x1，lnx1＋x1)是曲线C1上任一点，∴曲线C1在点(x1，lnx1＋x1)处的切线方程为y－(lnx1＋x1)＝(x－x1)，即y＝x＋lnx1－1．同理可得曲线C2在点(x2，x)处的切线方程为y－x＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x．依题意知两切线重合，∴消去x2得＋＋4lnx1－3＝0，①，令f(x)＝＋＋4lnx－3(x>0)，则f′(x)＝－－＋＝＝，当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，小学、初中、高中各种试卷真题知识归纳文案合同PPT等免费下载www.doc985.com∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)只有一个零点．即方程①只有一个解，故曲线C1与C2只有1条公切线．(4)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝．答案8解析方法一因为y＝x＋lnx，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2．所以曲线y＝x＋lnx在点(1，1)的切方程处线为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．因为y＝2x－1曲与线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，所以a≠0(当a＝0曲时线变为y＝2x＋1已知直平行与线)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0．由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8．方法二同方法一得切方程线为y＝2x－1．设y＝2x－1曲与线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．因为y′＝2ax＋(a＋2)，所以＝2ax0＋(a＋2)．由解得(5)(2016·全Ⅱ课标国)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________．答案0或1解析设直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝ex的切点为(x2，y2)，y＝lnx＋2的导数为y′＝，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝ex2＝．又由k＝＝，消去x2，可得(1＋lnx1)·(x1－1)＝0，则x1＝或x1＝1，则直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2的切点为或(1,2)，与曲线y＝ex的切点为(1，e)或(0，1)，所以k＝＝e或k＝＝1，则切线方程为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1．(6)已知曲线f(x)＝lnx＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，则实数a的取值范围为．答案8解析设切线与f(x)＝lnx＋1相切于点P(x0，lnx0＋1)，f′(x0)＝，∴切线方程为y－(lnx0＋1)＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0，联立得x2－x＋a－lnx0＝0，∴Δ＝2－4(a－lnx0)＝0，即＋＋1－4a＋4lnx0＝0，即4a＝＋＋1＋4lnx0有解，令φ(x)＝＋＋1＋4lnx(x>0)...